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有理數和無理數的區別? 有哪些不同

2025-01-01 08:13:42文/劉冬晴

有理數和無理數區別顯著。有理數是整數與分數統稱,能寫成兩整數之比,其小數形式為有限或無限循環,像0.333…(1/3);無理數則是無限不循環小數,無法化作兩整數之比,如圓周率π。運算上有理數四則皆行,無理數常需借助有理數近似計算。

有理數和無理數的區別? 有哪些不同

有理數與無理數的區別是什么

1.概念不同

有理數是整數和分數的統稱,能精確地表示為兩個整數之比的數。而無理數是無限不循環小數,不能寫作兩個整數之比。

2.性質不同

有理數能寫成有限小數和無限循環小數以及兩個整數之比,在有理數集內四種運算均可進行,且運算結果仍為有理數。

無理數只能寫成無限不循環小數且不能寫成兩個整數之比,無理數加(減)無理數既可以是無理數又可以是有理數,無理數乘(除)無理數既可以是無理數又可以是有理數,無理數加(減)有理數一定是無理數,無理數乘(除)一個非0有理數一定是無理數。

3.范圍不同

有理數集是整數集的擴張,在有理數集內,加法、減法、乘法、除法四種運算均可進行。無理數是實數范圍內不能表示成兩個整數之比的數。

4.表達方式不同

有理數可以用分數表達,3/8。無理數不能用分數表達,如圓周率π。

有理數與無理數的概念與特點

有理數的概念與特點

1.有理數的定義

有理數是整數和分數的統稱,能精確地表示為兩個整數之比的數。3/8就是一個有理數,它可以表示為整數3和整數8的比。同時,整數也可以看成是分母為1的分數,如5可以寫成5/1,所以整數也是有理數的一部分。

2.有理數的性質

有理數的小數表示要么是有限小數,要么是無限循環小數。1/2=0.5是有限小數,1/3≈0.333……是無限循環小數。有理數可以表示為兩個整數的比例,在有理數集內四種運算(加、減、乘、除,除數不為0)均可進行,并且運算結果仍為有理數。

此外,有理數具有順序性,對于任意兩個有理數a、b,在a<b、a=b、a>b三種關系中,有且只有一種成立;有理數還具有對加、減、乘、除四則運算的封閉性,即任意一對有理數,對應的和、差、積、商(0不為除數)仍為有理數;有理數具有稠密性,即任意兩個有理數之間存在著無限多個有理數。

3.常見有理數類型

整數、有限小數、無限循環小數、分數等都是有理數。正整數(也叫自然數)、0、負整數統稱為整數,正分數、負分數統稱為分數。

所有的整數都是有理數,小數分類里的有限小數、無限循環小數也是有理數,因為所有的分數不是與一個有限小數等價,就是與一個無限循環小數等價,所以所有的分數都是有理數。正有理數包括正整數和正分數,負有理數包括負整數和負分數。

無理數的概念與特點

1.無理數的定義

無理數指無限不循環小數,不能寫作兩個整數之比。在計算2的算術平方根時,開方的過程可以無限繼續下去,得到的小數1.41421……就不是無限循環小數,所以它是無理數。

2.無理數的性質

無理數的小數部分既不會終止也不會無限循環;不能表示為兩個整數之比;是實數范圍內不能表示成兩個整數之比的數。

無理數加(減)無理數既可以是無理數又可以是有理數;無理數乘(除)無理數既可以是無理數又可以是有理數;無理數加(減)有理數一定是無理數;無理數乘(除)一個非0有理數一定是無理數。

3.常見無理數類型

無限不循環小數如圓周率π、自然對數的底數e等,根式中開方開不盡的數如√2、√3、√5等,含有π的數如π/2、√7π、π+3等,某些三角函數值如sin25°、tan78°等都是無理數。

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