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三角函數最小正周期怎么求

2019-10-07 11:39:06文/陶凱月

三角函數最小正周期怎么求呢?下面就和小編一起了解一下吧,供大家參考。

三角函數最小正周期怎么求

什么是最小正周期

如果一個函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小的正數就叫做f(x)的最小正周期。例如,正弦函數的最小正周期是2π。

根據上述定義,我們有:對于正弦函數y=sinx,自變量x只要并且至少增加到x+2π時,函數值才能重復取得正弦函數和余弦函數的最小正周期是2π。

y=Asin(ωx+φ),T=2π/ω(其中ω必須>0)。

如何求三角函數最小正周期

1、定義法

概念:根據周期函數和最小正周期的定義,確定所給函數的最小正周期。

例1、求函數y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.

解:∵=|sinx|+|cosx|

=|-sinx|+|cosx|

=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)|

=|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)|

=f(x+π/2)

對定義域內的每一個x,當x增加到x+π/2時,函數值重復出現,因此函數的最小正周期是π/2.(如果f(x+T)=f(x),那么T叫做f(x)的周期)。

2、公式法

這類題目是通過三角函數的恒等變形,轉化為一個角的一種函數的形式,用公式去求,其中正余弦函數求最小正周期的公式為T=2π/|ω|,正余切函數T=π/|ω|。

函數f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期都是;函數f(x)=Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的最小正周期都是,運用這一結論,可以直接求得形如y=Af(ωx+φ)(A≠0,ω>0)一類三角函數的最小正周期(這里“f”表示正弦、余弦、正切或余切函數)。

3、最小公倍數法

由三角函數的代數和組成的三角函數式,可先找出各個加函數的最小正周期,然后找出所有周期的最小公倍數即得。

注:

1.分數的最小公倍數的求法是:(各分數分子的最小公倍數)÷(各分數分母的最大公約數)。

2.對于正、余弦函數的差不能用最小公倍數法。

4、恒等變換法

概念:通過對所給函數式進行恒等變換,使其轉化為簡單的情形,再運用定義法、公式法或圖象法等求出其最小正周期。

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