余數三大定理有余數的加法定理:a與b的和除以c的余數,等于a,b分別除以c的余數之和,或這個和除以c的余數。余數的乘法定理:a與b的乘積除以c的余數,等于a,b分別除以c的余數的積,或者這個積除以c所得的余數。同余定理:若兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數,那么稱a、b對于模m同余。
1.余數的加法定理
a與b的和除以c的余數,等于a,b分別除以c的余數之和,或這個和除以c的余數。
例:18,21除以5的余數分別是1和3,而18+21=39除以5的余數等于4,即是兩個余數的和1+3.
當余數的和比除數大時,所求的余數等于余數之和再除以c所得的余數。
2.余數的乘法定理
a與b的乘積除以c的余數,等于a,b分別除以c的余數的積,或者這個積除以c所得的余數。
例:18,21除以5的余數分別是1和3,而18×21=378除以5的余數等于3,即是兩個余數的積1×3.
當余數的積比除數大時,所求的余數等于兩個余數的積再除以c所得的余數。
3.同余定理
若兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數,那么稱a、b對于模m同余。同余式讀作:a同余于b,模m。由同余的性質我們可以得到一個非常重要的推論:若兩個數a、b除以同一個數m,得到的余數相同,則a、b的差一定能被m整除。
例:18,33除以5的余數都是3,則33-18=15一定能被5整除。
論證:設除數為x,第一個商為m,余數為a,則第一個被除數為mx+a,設第二個商為n(n<m),余數為a,則第二個被除數為nx+a,兩個被除數的差為:(m-n)x,(m+n)x是x的倍數,所以,兩個被除數的差一定能被x整除。
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