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三角形中位線定理和逆定理

2020-02-18 15:28:17文/宋則賢

三角形中位線定理是三角形的中位線平行于第三邊(不與中位線接觸),并且等于第三邊的一半。下面整理了三角形中位線定理和逆定理,供大家參考。

三角形中位線定理和逆定理

三角形中位線定理

三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊(不與中位線接觸),并且等于第三邊的一半。

證明:已知△ABC中,D,E分別是AB,AC兩邊中點。求證DE平行于BC且等于BC/2

過C作AB的平行線交DE的延長線于G點。

∵CG∥AD

∴∠A=∠ACG

∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括號)

∴△ADE≌△CGE (A.S.A)

∴AD=CG(全等三角形對應(yīng)邊相等)

∵D為AB中點

∴AD=BD

∴BD=CG

又∵BD∥CG

∴BCGD是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)

∴DG∥BC且DG=BC

∴DE=DG/2=BC/2

∴三角形的中位線定理成立

逆定理

逆定理一:在三角形內(nèi),與三角形的兩邊相交,平行且等于三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線。

證明:∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC

∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2

∴AD=AB/2,AE=AC/2,即D是AB中點,E是AC中點。

逆定理二:在三角形內(nèi),經(jīng)過三角形一邊的中點,且與另一邊平行的線段,是三角形的中位線

證明:取AC中點E',連接DE',則有

AD=BD,AE'=CE'

∴DE'是三角形ABC的中位線

∴DE'∥BC

又∵DE∥BC

∴DE和DE'重合(過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行)

∴E是中點,DE=BC/2

注意:在三角形內(nèi)部,經(jīng)過一邊中點,且等于第三邊一半的線段不一定是三角形的中位線。

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