三角形中位線定理是三角形的中位線平行于第三邊(不與中位線接觸),并且等于第三邊的一半。下面整理了三角形中位線定理和逆定理,供大家參考。
三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊(不與中位線接觸),并且等于第三邊的一半。
證明:已知△ABC中,D,E分別是AB,AC兩邊中點。求證DE平行于BC且等于BC/2
過C作AB的平行線交DE的延長線于G點。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括號)
∴△ADE≌△CGE (A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形對應(yīng)邊相等)
∵D為AB中點
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位線定理成立
逆定理一:在三角形內(nèi),與三角形的兩邊相交,平行且等于三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線。
證明:∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2
∴AD=AB/2,AE=AC/2,即D是AB中點,E是AC中點。
逆定理二:在三角形內(nèi),經(jīng)過三角形一邊的中點,且與另一邊平行的線段,是三角形的中位線
證明:取AC中點E',連接DE',則有
AD=BD,AE'=CE'
∴DE'是三角形ABC的中位線
∴DE'∥BC
又∵DE∥BC
∴DE和DE'重合(過直線外一點,有且只有一條直線與已知直線平行)
∴E是中點,DE=BC/2
注意:在三角形內(nèi)部,經(jīng)過一邊中點,且等于第三邊一半的線段不一定是三角形的中位線。
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