二項式定理系數

二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓于1664、1665年間提出。在數學里，二項式系數，或組合數，是定義為形如(1+x)?展開后x的系數（其中n為自然數，k為整數）。

二項式系數對組合數學很重要，因它的意義是從n件物件中，不分先后地選取k件的方法總數，因此也叫做組合數。從定義出發，把n個(1+x)項的乘積展開，其中任意k項的x和n?k項的1相乘得出一個x，故此x的系數是從n個選取k個的方法總數。把各項的x標記可以更清楚看出：當n=4, k=2時，

二項式系數是楊輝三角的第n+1行從左起第k+1個數，它最先由楊輝發現。

二項式系數符合等式可以由其公式證出，也可以從其在組合數學的意義推導出來。如第一式左項表示從n+1件選取k件的方法數，這些方法可分為沒有選取第n+1件，即是從其余n件選取k件；和有選取第n+1件，即是從其余n件選取k?1件。而第二式則是每個從n件選取k件的方法，也可看為選取其余n?k件的方法。