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2018年大慶中考數學模擬試題(word版,含答案)

2017-10-27 08:26:03文/張平

2018大慶市中考數學模擬試題 

一、選擇題:(每題3分,共30分)

1.下列運算正確的是(  )

A.a6÷a2=a3B.a6+a2=a8C.(a2)3=a6D.2a×3a=6a

2.已知地球上七大洲的總面積約為150000000km2,則數字150000000用科學記數法可以表示為(  )

A.1.5×106B.1.5×107C.1.5×108D.1.5×109

3.在下列圖形中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是(  )

A.B.C.D.

4.若將函數y=2x2的圖象向右平行移動1個單位,再向上平移5個單位,可得到的拋物線是(  )

A.y=2(x﹣1)2﹣5B.y=2(x﹣1)2+5C.y=2(x+1)2﹣5D.y=2(x+1)2+5

5.雙曲線y=(k≠0)經過(1,﹣4),下列各點在此雙曲線上的是(  )

A.(﹣1,﹣4)B.(4,1)C.(﹣2,﹣2)D.(,﹣4

6.如圖,點A、B、C是⊙O上的點,若∠ACB=35°,則∠AOB的度數為(  )

A.35°B.70°C.105°D.150°

7.如圖,為了測量河兩岸A、B兩點的距離,在與AB垂直的方向點C處測得AC=a,∠ACB=α,那么AB等于(  )

A.a?sinαB.a?tanαC.a?cosαD.

8.如圖,△ABC中,∠ACB=70°,將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉得到△BDE(點D與點A是對應點,點E與點C是對應點),且邊DE恰好經過點C,則∠ABD的度數為(  )

A.30°B.40°C.45°D.50°

9.如圖,直線l和雙曲線(k>0)交于A、B兩點,P是線段AB上的點(不與A、B重合),過點A、B、P分別向x軸作垂線,垂足分別是C、D、E,連接OA、OB、OP,設△AOC面積是S1,△BOD面積是S2,△POE面積是S3,則(  )

A.S1<S2<S3B.S1>S2>S3C.S1=S2>S3D.S1=S2<S3

10.某油箱容量為60L的汽車,加滿汽油后行駛了100km時,油箱中的汽油大約消耗了,如果加滿汽油后汽車行駛的路程為xkm,油箱中剩油量為yL,則y與x之間的函數解析式和自變量取值范圍分別是(  )

A.y=0.12x,x>0B.y=60﹣0.12x,x>0

C.y=0.12x,0≤x≤500D.y=60﹣0.12x,0≤x≤500

 

二、填空題:(每題3分,共30分)

11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,則sinB的值是  .

12.計算:+﹣3=  .

13.把多項式2x2y﹣8xy2+8y3分解因式的結果是  .

14.不等式組的解集是  .

15.已知二次函數y=﹣x2+mx+2的對稱軸為直線x=,則m=  .

16.已知扇形的圓心角為45°,弧長為3π,則此扇形的半徑為  .

17.如圖,△ABC內接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD為⊙O的直徑,AD=6,則BC=  .

18.點A是反比例函數y=第二象限內圖象上一點,它到原點的距離為10,到x軸的距離為8,則k=  .

19.已知:正方形ABCD的邊長為2,點P是直線CD上一點,若DP=1,則tan∠BPC的值是  .

20.如圖,四邊形ABCD中,對角線AC⊥BD于點O,且AO=BO=4,CO=8,∠ADB=2∠ACB,則四邊形ABCD的面積為  .

 

三、解答題:(21、22題7分,23題、24題8分,25-27題各10分)

21.先化簡,再求代數式的值:,其中a=tan60°﹣2sin30°.

22.如圖,在小正方形的邊長均為1的方格紙中,有線段AB,點A、B均在小正方形的頂點上.

(1)在圖1中畫一個以線段AB為一邊的平行四邊形ABCD,點C、D均在小正方形的頂點上,且平行四邊形ABCD的面積為10;

(2)在圖2中畫一個鈍角三角形ABE,點E在小正方形的頂點上,且三角形ABE的面積為4,tan∠AEB=.請直接寫出BE的長.

23.如圖,已知△ABC是等邊三角形,D、E分別在邊BC、AC上,且CD=CE,連接DE并延長至點F,使EF=AE,連接AF、BE和CF.

(1)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形,并說明理由;

(2)若AB=6,BD=2DC,求四邊形ABEF的面積.

24.如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,△OAB的頂點B在x軸負半軸上,OA=OB=5,tan∠AOB=,點P與點A關于y軸對稱,點P在反比例函數y=的圖象上.

(1)求反比例函數的解析式;

(2)點D在反比例函數y=第一象限的圖象上,且△APD的面積為4,求點D的坐標.

25.工藝商場按標價銷售某種工藝品時,每件可獲利45元;按標價的八五折銷售該工藝品8件與將標價降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等.

(1)該工藝品每件的進價、標價分別是多少元?

(2)若每件工藝品按(1)中求得的進價進貨,標價售出,工藝商場每天可售出該工藝品100件.若每件工藝品降價1元,則每天可多售出該工藝品4件.問每件工藝品降價多少元出售,每天獲得的利潤最大?獲得的最大利潤是多少元?

26.如圖,⊙O中弦AB⊥弦CD于E,延長AC、DB交于點P,連接AO、DO、AD、BC.

(1)求證:∠AOD=90°+∠P;

(2)若AB平分∠CAO,求證:AD=AB;

(3)在(2)的條件下,若⊙O的半徑為5,PB=,求弦BC的長.

27.如圖所示,平面直角坐標系中,O為原點,拋物線y=﹣x2+2k(k≠0)頂點為C點,拋物線交x軸于A、B兩點,且AB=CO;

(1)求此拋物線解析式;

(2)點P為第一象限內拋物線上一點,連接PA交y軸于點D,連接PC,設點P的橫坐標為t,△PCD的面積為S,求S與t的函數關系式,并直接寫出t的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,連接AC,過點D作DE⊥y軸交AC于E,連接PE,交y軸于F,若5CF=3OF,求P點坐標.

 


2018大慶市中考數學模擬試題參考答案 

一、選擇題:(每題3分,共30分)

1.下列運算正確的是(  )

A.a6÷a2=a3B.a6+a2=a8C.(a2)3=a6D.2a×3a=6a

【考點】單項式乘單項式;合并同類項;冪的乘方與積的乘方;同底數冪的除法.

【分析】原式利用單項式乘以單項式法則,合并同類項法則,冪的乘方運算法則,以及同底數冪的乘法法則計算得到結果,即可作出判斷.

【解答】解:A、原式=a4,錯誤;

B、原式不能合并,錯誤;

C、原式=a6,正確;

D、原式=6a2,錯誤,

故選C

 

2.已知地球上七大洲的總面積約為150000000km2,則數字150000000用科學記數法可以表示為(  )

A.1.5×106B.1.5×107C.1.5×108D.1.5×109

【考點】科學記數法—表示較大的數.

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數.確定n的值時,要看把原數變成a時,小數點移動了多少位,n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時,n是正數;當原數的絕對值<1時,n是負數.

【解答】解:將150000000用科學記數法表示為1.5×108.

故選:C.

 

3.在下列圖形中,既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是(  )

A.B.C.D.

【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形.

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念分別分析求解.

【解答】解:A、不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形,故此選項錯誤;

B、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故此選項錯誤;

C、是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形,故此選項正確;

D、不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形,故此選項錯誤.

故選:C.

 

4.若將函數y=2x2的圖象向右平行移動1個單位,再向上平移5個單位,可得到的拋物線是(  )

A.y=2(x﹣1)2﹣5B.y=2(x﹣1)2+5C.y=2(x+1)2﹣5D.y=2(x+1)2+5

【考點】二次函數圖象與幾何變換.

【分析】拋物線平移不改變a的值.

【解答】解:原拋物線的頂點為(0,0),向右平行移動1個單位,再向上平移5個單位,那么新拋物線的頂點為(1,5).可設新拋物線的解析式為y=2(x﹣h)2+k,代入人得:y=2(x﹣1)2﹣5.

故選B.

 

5.雙曲線y=(k≠0)經過(1,﹣4),下列各點在此雙曲線上的是(  )

A.(﹣1,﹣4)B.(4,1)C.(﹣2,﹣2)D.(,﹣4

【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征.

【分析】將(1,﹣4)代入y=即可求出k的值,再根據k=xy解答即可.

【解答】解:∵雙曲線y=(k≠0)經過(1,﹣4),

∴k=1×(﹣4)=﹣4

四個選項中只有D=﹣4符合,

故選:D.

 

6.如圖,點A、B、C是⊙O上的點,若∠ACB=35°,則∠AOB的度數為(  )

A.35°B.70°C.105°D.150°

【考點】圓周角定理.

【分析】在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半.

【解答】解:由圓周角定理可得:∠AOB=2∠ACB=70°.

故選B.

 

7.如圖,為了測量河兩岸A、B兩點的距離,在與AB垂直的方向點C處測得AC=a,∠ACB=α,那么AB等于(  )

A.a?sinαB.a?tanαC.a?cosαD.

【考點】解直角三角形的應用﹣方向角問題.

【分析】根據題意,可得Rt△ABC,同時可知AC與∠ACB.根據三角函數的定義解答.

【解答】解:根據題意,在Rt△ABC,有AC=a,∠ACB=α,且tanα=

則AB=AC×tanα=a?tanα,

故選B.

 

8.如圖,△ABC中,∠ACB=70°,將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉得到△BDE(點D與點A是對應點,點E與點C是對應點),且邊DE恰好經過點C,則∠ABD的度數為(  )

A.30°B.40°C.45°D.50°

【考點】旋轉的性質.

【分析】先根據旋轉的性質得∠ABD=∠CBE,∠E=∠ACB=70°,BC=BE,則根據等腰三角形的性質得∠BCE=∠E=70°,再利用三角形內角和計算出∠CBE,從而得到∠ABD的度數.

【解答】解:∵△ABC繞點B按逆時針方向旋轉得到△BDE(點D與點A是對應點,點E與點C是對應點),

∴∠ABD=∠CBE,∠E=∠ACB=70°,BC=BE,

∴∠BCE=∠E=70°,

∴∠CBE=180°﹣70°﹣70°=40°,

∴∠ABD=40°.

故選B.

 

9.如圖,直線l和雙曲線(k>0)交于A、B兩點,P是線段AB上的點(不與A、B重合),過點A、B、P分別向x軸作垂線,垂足分別是C、D、E,連接OA、OB、OP,設△AOC面積是S1,△BOD面積是S2,△POE面積是S3,則(  )

A.S1<S2<S3B.S1>S2>S3C.S1=S2>S3D.S1=S2<S3

【考點】反比例函數系數k的幾何意義.

【分析】由于點A在y=上,可知S△AOC=k,又由于點P在雙曲線的上方,可知S△POE>k,而點B在y=上,可知S△BOD=k,進而可比較三個三角形面積的大小

【解答】解:如右圖,

∵點A在y=上,

∴S△AOC=k,

∵點P在雙曲線的上方,

∴S△POE>k,

∵點B在y=上,

∴S△BOD=k,

∴S1=S2<S3.

故選;D.

 

10.某油箱容量為60L的汽車,加滿汽油后行駛了100km時,油箱中的汽油大約消耗了,如果加滿汽油后汽車行駛的路程為xkm,油箱中剩油量為yL,則y與x之間的函數解析式和自變量取值范圍分別是(  )

A.y=0.12x,x>0B.y=60﹣0.12x,x>0

C.y=0.12x,0≤x≤500D.y=60﹣0.12x,0≤x≤500

【考點】根據實際問題列一次函數關系式.

【分析】根據題意列出一次函數解析式,即可求得答案.

【解答】解:因為油箱容量為60L的汽車,加滿汽油后行駛了100km時,油箱中的汽油大約消耗了

可得:L/km,60÷0.12=500(km),

所以y與x之間的函數解析式和自變量取值范圍是:y=60﹣0.12x,(0≤x≤500),

故選D.

 

二、填空題:(每題3分,共30分)

11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,AB=5,則sinB的值是  .

【考點】銳角三角函數的定義.

【分析】根據正弦的定義計算即可.

【解答】解:∵∠C=90°,AC=4,AB=5,

∴sinB==

故答案為:

 

12.計算:+﹣3= 3 .

【考點】二次根式的加減法.

【分析】首先把二次根式化成最簡二次根式,然后再合并即可.

【解答】解:原式=4+2﹣3=3

故答案為:3

 

13.把多項式2x2y﹣8xy2+8y3分解因式的結果是 2y(x﹣2y)2 .

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

【分析】根據提公因式法,可得完全平方公式,根據完全平方公式,可得答案.

【解答】解:原式=2y(x2﹣4xy+4y2)

=2y(x﹣2y)2,

故答案為:2y(x﹣2y)2.

 

14.不等式組的解集是 3≤x<4 .

【考點】解一元一次不等式組.

【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集,找出解集的公共部分即可.

【解答】解:

由①得:x<4;

由②得:x≥3,

則不等式組的解集為3≤x<4.

故答案為:3≤x<4

 

15.已知二次函數y=﹣x2+mx+2的對稱軸為直線x=,則m=  .

【考點】二次函數的性質.

【分析】把二次函數解析式化為頂點式可用m表示出其對稱軸,再由條件可得到關于m的方程,可求得m的值.

【解答】解:∵y=﹣x2+mx+2=﹣(x﹣)2++2,

∴二次函數對稱軸為直線x=

∵二次函數的對稱軸為直線x=

=,解得m=

故答案為:

 

16.已知扇形的圓心角為45°,弧長為3π,則此扇形的半徑為 12 .

【考點】弧長的計算.

【分析】根據弧長公式l=代入求解即可.

【解答】解:∵l=

∴r==12.

故答案為12.

 

17.如圖,△ABC內接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD為⊙O的直徑,AD=6,則BC= 6 .

【考點】圓周角定理;解直角三角形.

【分析】由已知可證∠BDA=30°;根據BD為⊙O的直徑,可證∠BAD=90°,得∠DBC=30°,即∠DBA=60°,所以BC=AD=6.

【解答】解:連接CD.

∵△ABC內接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,

∴∠CBA=∠BCA=30°.

∴∠BDA=∠ACB=30°.

∵BD為⊙O的直徑,

∴∠BAD=90°,∠BDA=30°,

∴∠DBC=90°﹣30°﹣30°=30°,

∴∠DBA=60°,∠BDC=60°,

∴BC=AD=6.

 

18.點A是反比例函數y=第二象限內圖象上一點,它到原點的距離為10,到x軸的距離為8,則k= ±48 .

【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征.

【分析】由題意點A是反比例函數圖象上一點,它到原點的距離為10,到x軸的距離為8,根據勾股定理可得其道y軸的距離為6,用待定系數法求出函數的表達式.

【解答】解:設反比例函數的解析式為:y=

設A點為(a,b),

∵點A是反比例函數圖象上一點,它到原點的距離為10,

∴a2+b2=100①,

∵點A到x軸的距離為8,

∴|b|=8,把b值代入①得,

∴|a|=6,

∴A(6,8)或(﹣6,﹣8)或(﹣6,8)或(6,﹣8),

把A點代入函數解析式y=

得k=±48,

故答案為:±48.

 

19.已知:正方形ABCD的邊長為2,點P是直線CD上一點,若DP=1,則tan∠BPC的值是 2或 .

【考點】銳角三角函數的定義;勾股定理;正方形的性質.

【分析】本題可以利用銳角三角函數的定義、勾股定理以及正方形的性質求解.

【解答】解:此題有兩種可能:

(1)∵BC=2,DP=1,

∠C=90°,

∴tan∠BPC==2;

(2)∵DP=1,DC=2,

∴PC=3,

又∵BC=2,∠C=90°,

∴tan∠BPC==

故答案為:2或

 

20.如圖,四邊形ABCD中,對角線AC⊥BD于點O,且AO=BO=4,CO=8,∠ADB=2∠ACB,則四邊形ABCD的面積為 42 .

【考點】相似三角形的判定與性質.

【分析】如圖,作∠ADO的平分線DP交AC于P,作PE⊥AD于E.由△POD∽△BOC,得=,設OP=x,推出OD=2x,由PE⊥AD,PO⊥DO,∠PDE=∠PDO,推出PE=OP,由==,推出=,推出AD=2(4﹣x),在Rt△ADO中,根據AD2=AO2+DO2,可得4(4﹣x)2=4x2+42,求出x的值,再根據S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC=?BD?AO+?BD?OC=?BD(OA+OC)計算即可.

【解答】解:如圖,作∠ADO的平分線DP交AC于P,作PE⊥AD于E.

∵∠ADO=2∠BCO,

∴∠PDO=∠BCO,

∵∠POD=∠BOC,

∴△POD∽△BOC,

=,設OP=x,

=

∴OD=2x,

∵PE⊥AD,PO⊥DO,∠PDE=∠PDO,

∴PE=OP,

==

=

∴AD=2(4﹣x),

在Rt△ADO中,∵AD2=AO2+DO2,

∴4(4﹣x)2=4x2+42,

∴x=

∴OD=3,

∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC=?BD?AO+?BD?OC=?BD(OA+OC)=×7×12=42.

故答案為42.

 

三、解答題:(21、22題7分,23題、24題8分,25-27題各10分)

21.先化簡,再求代數式的值:,其中a=tan60°﹣2sin30°.

【考點】分式的化簡求值;特殊角的三角函數值.

【分析】分別化簡分式和a的值,再代入計算求值.

【解答】解:原式=

當a=tan60°﹣2sin30°=﹣2×=時,

原式=

 

22.如圖,在小正方形的邊長均為1的方格紙中,有線段AB,點A、B均在小正方形的頂點上.

(1)在圖1中畫一個以線段AB為一邊的平行四邊形ABCD,點C、D均在小正方形的頂點上,且平行四邊形ABCD的面積為10;

(2)在圖2中畫一個鈍角三角形ABE,點E在小正方形的頂點上,且三角形ABE的面積為4,tan∠AEB=.請直接寫出BE的長.

【考點】作圖—應用與設計作圖;勾股定理;平行四邊形的判定;解直角三角形.

【分析】(1)由圖可知A、B間的垂直方向長為2,要使構建平行四邊形ABCD的面積為10,則可以在A的水平方向取一條長為5的線段,可得點C;

(2)由圖可知A、B間的垂直方向長為2,要使構建的鈍角三角形ABE面積為4,則可以在A的水平方向取一條長為4的線段,可得點E,且tan∠AEB=,BE的長可以根據勾股定理求得.

【解答】解:(1)如圖1所示;

(2)如圖2所示;

BE==2

 

23.如圖,已知△ABC是等邊三角形,D、E分別在邊BC、AC上,且CD=CE,連接DE并延長至點F,使EF=AE,連接AF、BE和CF.

(1)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形,并說明理由;

(2)若AB=6,BD=2DC,求四邊形ABEF的面積.

【考點】平行四邊形的判定與性質;等邊三角形的判定與性質;勾股定理.

【分析】(1)等邊三角形的三邊相等,三個角也相等,根據等邊三角形的性質能證明AF∥BD,AB∥FD,所以四邊形ABDF是怎樣的四邊形.

(2)過點E作EG⊥AB于點G,可求出EG的長,面積可求.

【解答】解:(1)∵CD=CE,∠BCA=60°,

∴△DEC是等邊三角形,

∴∠DEC=∠EDC=∠AEF=60°,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ABC=60°,

∴AB∥DF,

∵EF=AE,∠AEF=60°,

∴△AEF是等邊三角形,

∴∠AFD=60°,

∴BD∥AF,

∴四邊形ABDF是平行四邊形;

 

(2)∵四邊形ABDF是平行四邊形,

∴EF∥AB,且EF≠AB,

∴四邊形ABEF是梯形.

過點E作EG⊥AB于點G,

∵BD=2DC,AB=6,

∴AE=BD=EF=4,

∵∠AGE=90°,∠BAC=60°,

∴∠AEG=30°,

∴AG=AE=2,

EG===2

∴S=(4+6)×2=10

 

24.如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,△OAB的頂點B在x軸負半軸上,OA=OB=5,tan∠AOB=,點P與點A關于y軸對稱,點P在反比例函數y=的圖象上.

(1)求反比例函數的解析式;

(2)點D在反比例函數y=第一象限的圖象上,且△APD的面積為4,求點D的坐標.

【考點】待定系數法求反比例函數解析式;反比例函數系數k的幾何意義;等腰三角形的性質;解直角三角形.

【分析】(1)首先過點A作AC⊥x軸,由線段OA=5,點B在x軸負半軸上,且tan∠AOB=,可求得點A的坐標,進而求得P的坐標,然后利用待定系數法求得反比例函數的解析式;

(2)根據三角形面積求得D的縱坐標,代入反比例函數式,即可求得橫坐標.

【解答】解:(1)過點A作AC⊥x軸,

∵在Rt△AOC中,tan∠AOB==

設AC=3x,OC=4x,

∵OA=5,

在Rt△AOD中,根據勾股定理解得AC=3,OC=4,

∴A(﹣4,3),

∵點P與點A關于y軸對稱,

∴P(4,3),

把P(4,3)代入反比例函數y=中,

解得:k=12,

則反比例函數的解析式為y=

(2)∵A(﹣4,3),P(4,3),

∴AP=8,

∵△APD的面積為4,

∴D的縱坐標為4或2,

把y=4代入y=求得,x=3,

把y=2代入y=求得,x=6,

∴D的坐標為(3,4)或(6,2).

 

25.工藝商場按標價銷售某種工藝品時,每件可獲利45元;按標價的八五折銷售該工藝品8件與將標價降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等.

(1)該工藝品每件的進價、標價分別是多少元?

(2)若每件工藝品按(1)中求得的進價進貨,標價售出,工藝商場每天可售出該工藝品100件.若每件工藝品降價1元,則每天可多售出該工藝品4件.問每件工藝品降價多少元出售,每天獲得的利潤最大?獲得的最大利潤是多少元?

【考點】二次函數的應用;二元一次方程組的應用.

【分析】(1)根據“每件獲利45元”可得出:每件標價﹣每件進價=45元;根據“標價的八五折銷售該工藝品8件與將標價降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等”可得出等量關系:每件標價的八五折×8﹣每件進價×8=(每件標價﹣35元)×12﹣每件進價×12.

(2)可根據題意列出關于總利潤和每天利潤的二次函數,以此求出問題.

【解答】解:(1)設該工藝品每件的進價是x元,標價是y元.

依題意得方程組:

解得:

故該工藝品每件的進價是155元,標價是200元.

 

(2)設每件應降價a元出售,每天獲得的利潤為W元.

依題意可得W與a的函數關系式:W=(45﹣a),

W=﹣4a2+80a+4500,

配方得:W=﹣4(a﹣10)2+4900,

當a=10時,W最大=4900.

故每件應降價10元出售,每天獲得的利潤最大,最大利潤是4900元.

 

26.如圖,⊙O中弦AB⊥弦CD于E,延長AC、DB交于點P,連接AO、DO、AD、BC.

(1)求證:∠AOD=90°+∠P;

(2)若AB平分∠CAO,求證:AD=AB;

(3)在(2)的條件下,若⊙O的半徑為5,PB=,求弦BC的長.

【考點】圓的綜合題.

【分析】(1)由圓周角定理可知∠AOD=2∠ACD,結合三角形的外角的性質可得到∠AOD=2∠CDP+2∠P,接下來,依據∠CAE=∠CDP,可將∠AOD轉化為∠CDP、∠CAE、2∠P,最后根據∠CAE+∠CDP+∠P=90°可證得問題的答案;

(2)延長AO交BD與點F.首先證明∠AFB=∠AEC=90°,接下來,再證明△AFD≌△ADB,由全等三角形的性質可得到AB=AD;

(3)延長AO交BD與點G交⊙O與點F,連結BF、OB.依據弧、弦、弦心距之間的關系可知BC=FB,接下來,證明OB∥AP,依據平行線分線段成比例定理可知,故此可得到=,在△OBG中由勾股定理可得到OG=4,BG=3,從而可求得GF=1,在Rt△BGF中,由勾股定理得可求得BF的長,于是得到BC的長.

【解答】解:(1)∵∠CDP+∠P=∠ACD,∠AOD=2∠ACD,

∴∠AOD=2∠CDP+2∠P.

∵∠CAE=∠CDP,

∴∠AOD=∠CDP+∠CAE+∠P+∠P

∵AB⊥CD,

∴∠CAE+∠ACD=90°.

∴∠CAE+∠CDP+∠P=90°.

∴∠AOD=90°+∠P.

(2)如圖1所示:延長AO交BD與點F.

∵AB平分∠CAO,

∴∠CAE=∠BAF.

又∵∠ACE=∠ABF,

∴△ACE∽△ABF.

∴∠AFB=∠AEC=90°.

∴AF⊥BD.

∴FD=BF.

在△ABF和△ADF中

∴△AFD≌△ADB.

∴AB=AD.

(3)延長AO交BD與點G交⊙O與點F,連結BF、OB.

∵∠CAB=∠OAB,

∴BC=FB.

∵OA=OB,

∴∠OAB=∠OBA.

∴∠CAB=∠OBA.

∴OB∥AP.

=

設OG=4k,GB=3k.

在△OBG中,由勾股定理可知:(4k)2+(3k)2=25.

解得:k=1(負值已舍去).

∴OG=4,BG=3.

∴GF=1.

在Rt△BGF中,由勾股定理得:BF==

∴BC=

 

27.如圖所示,平面直角坐標系中,O為原點,拋物線y=﹣x2+2k(k≠0)頂點為C點,拋物線交x軸于A、B兩點,且AB=CO;

(1)求此拋物線解析式;

(2)點P為第一象限內拋物線上一點,連接PA交y軸于點D,連接PC,設點P的橫坐標為t,△PCD的面積為S,求S與t的函數關系式,并直接寫出t的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,連接AC,過點D作DE⊥y軸交AC于E,連接PE,交y軸于F,若5CF=3OF,求P點坐標.

【考點】二次函數綜合題.

【分析】(1)由題意點B坐標(k,0),代入拋物線y=﹣x2+2k得﹣k2+2k=0,解方程即可.

(2)如圖1中,作PM⊥AB于M.設點P坐標(t,﹣t2+4),由OD∥PM,得=,求出OD,即可解決問題.

(3))如圖2中,作PM⊥AB于M,ED的延長線交PM于N.先求出直線AC解析式,得到點E坐標,推出DE=DN,推出DF是△EPN的中位線,根據PN=2DF,列出方程即可解決問題.

【解答】解:(1)∵拋物線y=﹣x2+2k(k≠0)頂點為C點,

∴點C坐標(0,2k,

∵AB=CO,OA=OB,

∴點B坐標(k,0),代入拋物線y=﹣x2+2k得﹣k2+2k=0,

∴k=2或0(舍棄),

∴拋物線解析式為y=﹣x2+4.

 

(2)如圖1中,作PM⊥AB于M.

設點P坐標(t,﹣t2+4),

∵OD∥PM,

=

=

∴OD=4﹣2t,

∴CD=4﹣(4﹣2t)=2t,

∴S=?2t?t=t2,(0<t<2)

 

(3)如圖2中,作PM⊥AB于M,ED的延長線交PM于N.

∵∠NDO=∠DOM=∠NMO=90°,

∴四邊形OMND是矩形,

∴DN=OM=t

∵OC=4,5CF=3OF,設CF=3k,OF=5k,

則8k=4,

∴k=

∴CF=,OF=

∵直線AC的解析式為y=2x+4,D(0,4﹣2t),DE⊥OC,

∴E(﹣t,4﹣2t),

∴ED=DN=OM=t

∵DF∥PN,

∴EF=FP,

∴PN=2DF,

∴﹣t2+4﹣(4﹣2t)=2[﹣(4﹣2t)],

∴t2+2t﹣3=0,

∴t=1或﹣3(舍棄),

∴點P坐標(1,3).

 


2017年3月16日

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