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2017年固原中考數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1（2017固原數學）．下列各式計算正確的是（　　）

A．4a﹣a=3????????????? B．a6÷a2=a3????????????? C．（﹣a3）2=a6????????????? D．a3a2=a6

【分析】根據合并同類項，同底數冪的除法底數不變指數相減，積的乘方等于乘方的積，同底數冪的乘法底數不變指數相加，可得答案．

【解答】解：A、系數相加子母機指數不變，故A不符合題意；

B、同底數冪的除法底數不變指數相減，故B不符合題意；

C、積的乘方等于乘方的積，故C符合題意；

D、同底數冪的乘法底數不變指數相加，故D不符合題意；

故選：C．

【點評】本題考查了同底數冪的除法，熟記法則并根據法則計算是解題關鍵．

2．在平面直角坐標系中，點（3，﹣2）關于原點對稱的點是（　　）

A．????????????? C．

【分析】根據關于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數解答．

【解答】解：點P（3，﹣2）關于原點對稱的點的坐標是（﹣3，2），

故選：A．

【點評】本題考查了關于原點對稱的點的坐標，熟記關于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標都互為相反數是解題的關鍵．

3．學校國旗護衛隊成員的身高分布如下表：

則學校國旗護衛隊成員的身高的眾數和中位數分別是（　　）

A．160和160????????????? B．160和160.5????????????? C．160和161????????????? D．161和161

【分析】眾數是一組數據中出現次數最多的數據；找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數（或兩個數的平均數）為中位數．

【解答】解：數據160出現了10次，次數最多，眾數是：160cm；

排序后位于中間位置的是161cm，中位數是：161cm．

故選C．

【點評】本題為統計題，考查眾數與中位數的意義．中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（或最中間兩個數的平均數），叫做這組數據的中位數．如果中位數的概念掌握得不好，不把數據按要求重新排列，就會出錯．

4（2017固原數學）．某商品四天內每天每斤的進價與售價信息如圖所示，則售出這種商品每斤利潤最大的是（　　）

A．第一天????????????? B．第二天????????????? C．第三天????????????? D．第四天

【分析】根據圖象中的信息即可得到結論．

【解答】解：由圖象中的信息可知，

利潤=售價﹣進價，利潤最大的天數是第二天，

故選B．

【點評】本題考查了象形統計圖，有理數大小的比較，正確的把握圖象中的信息，理解利潤=售價﹣進價是解題的關鍵．

5（2017固原數學）．關于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2=0有實數根，則a的取值范圍是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．且a≠1????????????? D．且a≠1

【分析】根據一元而次方程的定義和判別式的意義得到a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，然后求出兩個不等式的公共部分即可．

【解答】解：根據題意得a≠1且△=32﹣4（a﹣1）（﹣2）≥0，

解得a≥﹣且a≠1．

故選D．

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程無實數根．

6．已知點 A（﹣1，1），B（1，1），C（2，4）在同一個函數圖象上，這個函數圖象可能是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【分析】由點點 A（﹣1，1），B（1，1），C（2，4）在同一個函數圖象上，可得A與B關于y軸對稱，當x＞0時，y隨x的增大而增大，繼而求得答案．

【解答】解：∵A（﹣1，1），B（1，1），

∴A與B關于y軸對稱，故C，D錯誤；

∵B（1，1），C（2，4）

∴當x＞0時，y隨x的增大而增大，故D正確，A錯誤．

∴這個函數圖象可能是B，

故選B．

【點評】此題考查了函數的圖象．注意掌握排除法在選擇題中的應用是解此題的關鍵．

7（2017固原數學）．如圖，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的矩形．根據圖形的變化過程寫出的一個正確的等式是（　　）

A．=a2﹣ab

C．（a﹣b）

【分析】利用正方形的面積公式和矩形的面積公式分別表示出陰影部分的面積，然后根據面積相等列出等式即可．

【解答】解：第一個圖形陰影部分的面積是a2﹣b2，

第二個圖形的面積是（a+b）（a﹣b）．

則a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．

故選D．

【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，正確用兩種方法表示陰影部分的面積是關鍵．

8．圓錐的底面半徑r=3，高h=4，則圓錐的側面積是（　　）

A．12π????????????? B．15π????????????? C．24π????????????? D．30π

【分析】先求圓錐的母線，再根據公式求側面積．

【解答】解：由勾股定理得：母線l===5，

∴S側=2πrl=πrl=π×3×5=15π．

故選B．

【點評】本題考查了圓錐的計算，熟練掌握圓錐的母線和側面積公式是關鍵．

二（2017固原數學）、填空題（每題3分，滿分24分，將答案填在答題紙上）

9．分解因式：2a2﹣8=　2（a+2）（a﹣2）　．

【分析】先提取公因式2，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解．

【解答】解：2a2﹣8

=2（a2﹣4），

=2（a+2）（a﹣2）．

故答案為：2（a+2）（a﹣2）．

【點評】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．

10．實數a在數軸上的位置如圖，則|a﹣|=　﹣a　．

【分析】根據數軸上點的位置判斷出a﹣的正負，利用絕對值的代數意義化簡即可得到結果．

【解答】解：∵a＜0，

∴a﹣＜0，

則原式=﹣a，

故答案為：﹣a

【點評】此題考查了實數與數軸，弄清絕對值里邊式子的正負是解本題的關鍵．

11（2017固原數學）．如圖所示的圓形紙板被等分成10個扇形掛在墻上，玩飛鏢游戲（每次飛鏢均落在紙板上），則飛鏢落在陰影區域的概率是　　．

【分析】直接利用陰影部分÷總面積=飛鏢落在陰影區域的概率，即可得出答案．

【解答】解：由題意可得：陰影部分有4個小扇形，總的有10個小扇形，

故飛鏢落在陰影區域的概率是： =．

故答案為：．

【點評】此題主要考查了幾何概率，正確利用概率公式分析是解題關鍵．

12．某種商品每件的進價為80元，標價為120元，后來由于該商品積壓，將此商品打七折銷售，則該商品每件銷售利潤為　4　元．

【分析】設該商品每件銷售利潤為x元，根據進價+利潤=售價列出方程，求解即可．

【解答】解：設該商品每件銷售利潤為x元，根據題意，得

80+x=120×0.7，

解得x=4．

答：該商品每件銷售利潤為4元．

故答案為4．

【點評】本題考查一元一次方程的應用，正確理解題意找到等量關系是解題的關鍵．

13．如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在點A'處．若∠1=∠2=50°，則∠A'為　105°　．

【分析】由平行四邊形的性質和折疊的性質，得出∠ADB=∠BDG=∠DBG，由三角形的外角性質求出∠BDG=∠DBG=∠1=25°，再由三角形內角和定理求出∠A，即可得到結果．

【解答】解：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBG，

由折疊可得∠ADB=∠BDG，

∴∠DBG=∠BDG，

又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°，

∴∠ADB=∠BDG=25°，

又∵∠2=50°，

∴△ABD中，∠A=105°，

∴∠A'=∠A=105°，

故答案為：105°．

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質、折疊的性質、三角形的外角性質以及三角形內角和定理的綜合應用，熟練掌握平行四邊形的性質，求出∠ADB的度數是解決問題的關鍵．

14（2017固原數學）．在△ABC中，AB=6，點D是AB的中點，過點D作DE∥BC，交AC于點E，點M在DE上，且ME=DM．當AM⊥BM時，則BC的長為　8　．

【分析】根據直角三角形的性質求出DM，根據題意求出DE，根據三角形中位線定理計算即可．

【解答】解：∵AM⊥BM，點D是AB的中點，

∴DM=AC=3，

∵ME=DM，

∴ME=1，

∴DE=DM+ME=4，

∵D是AB的中點，DE∥BC，

∴BC=2DE=8，

故答案為：8．

【點評】本題考查的是三角形的中位線定理的應用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．

15．如圖，點 A，B，C均在6×6的正方形網格格點上，過A，B，C三點的外接圓除經過A，B，C三點外還能經過的格點數為　5　．

【分析】根據圓的確定先做出過A，B，C三點的外接圓，從而得出答案．

【解答】解：如圖，分別作AB、BC的中垂線，兩直線的交點為O，

以O為圓心、OA為半徑作圓，則⊙O即為過A，B，C三點的外接圓，

由圖可知，⊙O還經過點D、E、F、G、H這5個格點，

故答案為：5．

【點評】本題主要考查圓的確定，熟練掌握圓上各點到圓心的距離相等得出其外接圓是解題的關鍵．

16（2017固原數學）．如圖是由若干個棱長為1的小正方體組合而成的一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的表面積是　22　．

【分析】利用主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形，進而判斷圖形形狀，即可得出小正方體的個數．

【解答】解：綜合三視圖，我們可以得出，這個幾何模型的底層有3+1=4個小正方體，第二有1個小正方體，

因此搭成這個幾何體模型所用的小正方體的個數是4+1=5個．

∴這個幾何體的表面積是5×6﹣8=22，

故答案為22．

【點評】本題考查了學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現了對空間想象能力方面的考查．掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”是解題的關鍵．

三、解答題（本大題共6小題，共36分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17．解不等式組：．

【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分即可．

【解答】解：，

由①得：x≤8，

由②得：x＞﹣3，

則不等式組的解集為﹣3＜x≤8．

【點評】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．

18．解方程：﹣=1．

【分析】根據分式方程的解法即可求出答案．

【解答】解：（x+3）2﹣4（x﹣3）=（x﹣3）（x+3）

x2+6x+9﹣4x+12=x2﹣9，

x=﹣15，

令x=﹣15代入（x﹣3）（x+3）≠0，

∴原分式方程的解為：x=﹣15，

【點評】本題考查分式的方程的解法，解題的關鍵是熟練運用分式方程的解法，本題屬于基礎題型．

19（2017固原數學）．校園廣播主持人培訓班開展比賽活動，分為 A、B、C、D四個等級，對應的成績分別是9分、8分、7分、6分，根據如圖不完整的統計圖解答下列問題：

（1）補全下面兩個統計圖（不寫過程）；

（2）求該班學生比賽的平均成績；

（3）現準備從等級A的4人（兩男兩女）中隨機抽取兩名主持人，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到一男一女學生的概率？

【分析】（1）首先用A等級的學生人數除以A等級的人數所占的百分比，求出總人數；然后用總人數減去A、B、D三個等級的人數，求出C等級的人數，補全條形圖；用C等級的人數除以總人數，得出C等級的人數所占的百分比，補全扇形圖；

（2）用加權平均數的計算公式求解即可；

（3）若A等級的4名學生中有2名男生2名女生，現從中任意選取2名參加學校培訓班，應用列表法的方法，求出恰好選到1名男生和1名女生的概率是多少即可．

【解答】解：（1）4÷10%=40（人），

C等級的人數40﹣4﹣16﹣8=12（人），

C等級的人數所占的百分比12÷40=30%．

兩個統計圖補充如下：

（2）9×10%+8×40%+7×30%+6×20%=7.4（分）；

（3）列表為：

由上表可知，從4名學生中任意選取2名學生共有12種等可能結果，其中恰好選到1名男生和1名女生的結果有8種，

所以恰好選到1名男生和1名女生的概率P==．

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．也考查了扇形統計圖、條形統計圖的應用以及加權平均數．

20．在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為A（2，3），B（1，1），C（5，1）．

（1）把△ABC平移后，其中點 A移到點A1（4，5），畫出平移后得到的△A1B1C1；

（2）把△A1B1C1繞點A1按逆時針方向旋轉90°，畫出旋轉后的△A2 B2C2．

【分析】（1）根據圖形平移的性質畫出平移后得的△A1B1C1即可；

（2）根據圖形旋轉的性質畫出旋轉后的△A2 B2C2即可．

【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；

（2）如圖，△A2 B2C2即為所求．

【點評】本題考查的是作圖﹣旋轉變換，熟知圖形旋轉不變性的性質是解答此題的關鍵．

21．在△ABC中，M是AC邊上的一點，連接BM．將△ABC沿AC翻折，使點B落在點D處，當DM∥AB時，求證：四邊形ABMD是菱形．

【分析】只要證明AB=BM=MD=DA，即可解決問題．

【解答】證明：∵AB∥DM，

∴∠BAM=∠AMD，

∵△ADC是由△ABC翻折得到，

∴∠CAB=∠CAD，AB=AD，BM=DM，

∴∠DAM=∠AMD，

∴DA=DM=AB=BM，

∴四邊形ABMD是菱形．

【點評】本題考查翻折變換、等腰三角形的判定和性質．平行線的性質等知識，解題的關鍵是證明△ADM是等腰三角形．

22（2017固原數學）．某商店分兩次購進 A、B兩種商品進行銷售，兩次購進同一種商品的進價相同，具體情況如下表所示：

（1）求A、B兩種商品每件的進價分別是多少元？

（2）商場決定A種商品以每件30元出售，B種商品以每件100元出售．為滿足市場需求，需購進A、B兩種商品共1000件，且A種商品的數量不少于B種商品數量的4倍，請你求出獲利最大的進貨方案，并確定最大利潤．

【分析】（1）設A種商品每件的進價為x元，B種商品每件的進價為y元，根據兩次進貨情況表，可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）設購進B種商品m件，獲得的利潤為w元，則購進A種商品（1000﹣m）件，根據總利潤=單件利潤×購進數量，即可得出w與m之間的函數關系式，由A種商品的數量不少于B種商品數量的4倍，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，再根據一次函數的性質即可解決最值問題．

【解答】解：（1）設A種商品每件的進價為x元，B種商品每件的進價為y元，

根據題意得：，

解得：．

答：A種商品每件的進價為20元，B種商品每件的進價為80元．

（2）設購進B種商品m件，獲得的利潤為w元，則購進A種商品（1000﹣m）件，

根據題意得：w=（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m=10m+10000．

∵A種商品的數量不少于B種商品數量的4倍，

∴1000﹣m≥4m，

解得：m≤200．

∵在w=10m+10000中，k=10＞0，

∴w的值隨m的增大而增大，

∴當m=200時，w取最大值，最大值為10×200+10000=12000，

∴當購進A種商品800件、B種商品200件時，銷售利潤最大，最大利潤為12000元．

【點評】本題考查了一次函數的應用、二元一次方程組的應用以及解一元一次不等式，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，列出二元一次方程組；（2）根據數量關系，找出w與m之間的函數關系式．

四（2017固原數學）解答題（本大題共4小題，共36分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

23．將一副三角板Rt△ABD與Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如圖擺放，Rt△ABD中∠D所對直角邊與Rt△ACB斜邊恰好重合．以AB為直徑的圓經過點C，且與AD交于點 E，分別連接EB，EC．

（1）求證：EC平分∠AEB；

（2）求的值．

【分析】（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根據圓周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代換得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；

（2）設AB與CE交于點M．根據角平分線的性質得出=．易求∠BAD=30°，由直徑所對的圓周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE=BE，那么==．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．證明△AFM∽△BGM，根據相似三角形對應邊成比例得出==，進而求出===．

【解答】（1）證明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，

∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，

∴∠AEC=∠BEC，

即EC平分∠AEB；

（2）解：如圖，設AB與CE交于點M．

∵EC平分∠AEB，

∴=．

在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，

∴∠BAD=30°，

∵以AB為直徑的圓經過點E，

∴∠AEB=90°，

∴tan∠BAE==，

∴AE=BE，

∴==．

作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．

在△AFM與△BGM中，

∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，

∴△AFM∽△BGM，

∴==，

∴===．

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，圓周角定理，銳角三角函數定義，通過作輔助線得出==是解題的關鍵．

24．直線y=kx+b與反比例函數y=（x＞0）的圖象分別交于點 A（m，3）和點B（6，n），與坐標軸分別交于點C和點D．

（1）求直線AB的解析式；

（2）若點P是x軸上一動點，當△COD與△ADP相似時，求點P的坐標．

【分析】（1）首先確定A、B兩點坐標，再利用待定系數法即可解決問題；

（2）分兩種情形討論求解即可．

【解答】解：（1）∵y=kx+b與反比例函數y=（x＞0）的圖象分別交于點 A（m，3）和點B（6，n），

∴m=2，n=1，

∴A（2，3），B（6，1），

則有，

解得，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+94

（2）如圖①當PA⊥OD時，∵PA∥CC，

∴△ADP∽△CDO，

此時p（2，0）．

②當AP′⊥CD時，易知△P′DA∽△CDO，

∵直線AB的解析式為y=﹣x+4，

∴直線P′A的解析式為y=2x﹣1，

令y=0，解得x=，

∴P′（，0），

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（2，0）或（，0）．

【點評】本題考查反比例函數綜合題、一次函數的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法確定函數解析式，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．

25（2017固原數學）．為確保廣大居民家庭基本用水需求的同時鼓勵家庭節約用水，對居民家庭每戶每月用水量采用分檔遞增收費的方式，每戶每月用水量不超過基本用水量的部分享受基本價格，超出基本用水量的部分實行超價收費．為對基本用水量進行決策，隨機抽查2000戶居民家庭每戶每月用水量的數據，整理繪制出下面的統計表：

（1）為確保70%的居民家庭每戶每月的基本用水量需求，那么每戶每月的基本用水量最低應確定為多少立方米？

（2）若將（1）中確定的基本用水量及其以內的部分按每立方米1.8元交費，超過基本用水量的部分按每立方米2.5元交費．設x表示每戶每月用水量（單位：m3），y表示每戶每月應交水費（單位：元），求y與x的函數關系式；

（3）某戶家庭每月交水費是80.9元，請按以上收費方式計算該家庭當月用水量是多少立方米？

【分析】（1）根據統計表可得出月均用水量不超過38噸的居民戶數占2000戶的70%，由此即可得出結論；

（2）分0≤x≤38及x＞38兩種情況，找出y與x的函數關系式；

（3）求出當x=38時的y值，與80.9比較后可得出該家庭當月用水量超出38立方米，令y=2.5x﹣26.6=80.9求出x值即可．

【解答】解：（1）200+160+180+220+240+210+190=1400（戶），

2000×70%=1400（戶），

∴基本用水量最低應確定為多38m3．

答：為確保70%的居民家庭每戶每月的基本用水量需求，那么每戶每月的基本用水量最低應確定為38立方米．

（2）設x表示每戶每月用水量（單位：m3），y表示每戶每月應交水費（單位：元），

當0≤x≤38時，y=1.8x；

當x＞38時，y=1.8×38+2.5（x﹣38）=2.5x﹣26.6．

綜上所述：y與x的函數關系式為y=．

（3）∵1.8×38=68.4（元），68.4＜80.9，

∴該家庭當月用水量超出38立方米．

當y=2.5x﹣26.6=80.9時，x=43．

答：該家庭當月用水量是43立方米．

【點評】本題考查了一次函數的應用、一次函數圖象上點的坐標特征以及統計表，解題的關鍵是：（1）根據統計表數據找出月均用水量不超過38噸的居民戶數占2000戶的70%；（2）分0≤x≤38及x＞38兩種情況，找出y與x的函數關系式；（3）令y=2.5x﹣26.6=80.9求出x值．

26．在邊長為2的等邊三角形ABC中，P是BC邊上任意一點，過點 P分別作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分別為垂足．

（1）求證：不論點P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高；

（2）當BP的長為何值時，四邊形AMPN的面積最大，并求出最大值．

【分析】（1）連接AP，過C作CD⊥AB于D，根據等邊三角形的性質得到AB=AC，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論；

（2）設BP=x，則CP=2﹣x，由△ABC是等邊三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），根據二次函數的性質即可得到結論．

【解答】解：（1）連接AP，過C作CD⊥AB于D，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，

∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，

∴ABCD=ABPM+ACPN，

∴PM+PN=CD，

即不論點P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高；

（2）設BP=x，則CP=2﹣x，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵PM⊥AB，PN⊥AC，

∴BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），

∴四邊形AMPN的面積=×（2﹣x）x+ [2﹣（2﹣x）]（2﹣x）=﹣x2+x+=﹣（x﹣1）2+，

∴當BP=1時，四邊形AMPN的面積最大，最大值是．

【點評】本題考查了等邊三角形的性質，三角形面積的計算，二次函數的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．