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2018年太原中考數學模擬試題
(滿分:120分 時間:120分鐘)
第Ⅰ卷 選擇題(共30分)
一、模擬試題選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)
1.-的倒數是( B )
A.- B.- C. D.
2.由2016年8月25日上午召開的教育部新聞發布會上獲悉,去年我國學生資助資金繼續保持增長勢頭,首次突破1500億元,增長近10%,將“1500億”用科學記數法表示為( C )
A.1.5×1010? B.15.0×109? C.1.5×1011? D.15.0×1011
3.下列運算正確的是( D )
A.(ab)2=ab2? B.3a+2a2=5a2? C.2(a+b)=2a+b? D.a·a=a2
4.如圖是由5個相同的小正方體組成的立體圖形,這個立體圖形的俯視圖是( C )
5.下列說法正確的是( C )
A.為了審核書稿中的錯別字,選擇抽樣調查
B.為了了解春節聯歡晚會的收視率,選擇全面調查
C.“射擊運動員射擊一次,命中靶心”是隨機事件
D.“經過有交通信號燈的路口,遇到紅燈”是必然事件
6.甲、乙兩人進行飛鏢比賽,每人各投5次,所得平均環數相等,其中甲所得環數的方差為15,乙所得環數如下:0,1,5,9,10,那么成績較穩定的是( A )
A.甲? B.乙? C.都一樣? D.無法確定
7.根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法,簡稱為“無字證明”、“無字證明”可用于驗證數與代數、
圖形與幾何等領域中的許多數學公式和規律,體現了數形結合的思想方法,展現了數學美,上面圖形驗證的內容是( B )
A.乘法公式? B.勾股定理
C.直角三角形中的三角函數? D.中位線定理
8.按照山西省“改薄工程”規劃,我省5年投入85億元用于改造農村縣(市、區)薄弱學校,促進義務教育均衡發展,其中某項“改薄工程”建設,甲隊單獨完成需要20天,若由甲隊先做13天,則剩下的工程由甲、乙兩隊合作3天完成.問乙隊單獨完成這項工程需要多少天?若設乙隊單獨完成這項工程需要x天,根據題意可列方程為( B )
A.13+3+x=20? B.+3(+)=1? C.+=1? D.(1-)+x=3
9.關于拋物線y=x2-(a+1)x+a-2,下列說法錯誤的是( C )
A.開口向上? B.當a=2時,經過坐標原點O[來源:學#科#網Z#X#X#K]
C.a>0時,對稱軸在y軸左側? D.不論a為何值,都經過定點(1,-2)
10.如圖,平行四邊形ABCD的頂點C在y軸正半軸上,CD平行于x軸,直線AC交x軸于點E,BC⊥AC,連接BE,反比例函數y=(x>0)的圖象經過點D.已知S△BCE=2,則k的值是( D )
A.2? B.-2? C.3? D.4
第Ⅱ卷 非選擇題(共90分)
二、填空題(本大題5小題,每小題3分,共15分)
11.已知點P(2-a,2a-7)(其中a為整數)位于第三象限,則點P坐標為__(-1,-1)__.
12.某地體育測試用抽簽的方式決定考試分組和考試項目,具體操作流程是:①每位考生從寫有A、B、C的三張紙片中隨機抽取一張確定考試分組;②再從寫有“引體向上”、“立定跳遠”、“800米”的三張紙片中隨機抽取一張確定考試項目,則考生小明抽到A組“引體向上”的概率等于____.
13.如圖,△ABC中,A,B兩個頂點在x軸的上方,點C的坐標是(-1,0),以點C為位似中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C,并把△ABC的邊長放大到原來的2倍.設點B的對應點B′的橫坐標是2,則點B的橫坐標是__-2.5__.
,第13題圖)
,第14題圖)
,第15題圖)
解析:如圖,過點B、B′分別作BD⊥x軸于D,B′E⊥x軸于E,∴∠BDC=∠B′EC=90°.∵△ABC的位似圖形是△A′B′C,∴點B、C、B′在一條直線上,∴∠BCD=∠B′CE,∴△BCD∽△B′CE.∴=,設點B的橫坐標為x,則DC=-1-x,EC=2+1=3,又∵=,∴=,∴2(-1-x)=3,∴x=-2.5,∴點B的橫坐標為-2.5.
14.如圖,小宇用黑白棋子組成的一組圖案,第1個圖案由1個黑子組成,第2個圖案由1個黑子和6個白子組成,第3個圖案由13個黑子和6個白子組成,按照這樣的規律排列下去,則第10個圖案中共有__121__個黑子.
解析:第1、2圖案中黑子有1個,第3、4圖案中黑子有1+2×6=13個,第5、6圖案中黑子有1+2×6+4×6=37個,第7、8圖案中黑子有1+2×6+4×6+6×6=73個,第9、10圖案中黑子有1+2×6+4×6+6×6+8×6=121個
15.如圖,在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,點P是對角線AC上的一個動點,過點P作EF⊥AC分別交AD、AB于點E、F,將△AEF沿EF折疊,點A落在點A′處,當△A′BC是等腰三角形時,AP的長為__或__.[來源:Z.xx.k.Com]
解析:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=5,∠DAC=∠BAC,∵EF⊥AA′,∴∠EPA=∠FPA=90°,∴∠EAP+∠AEP=90°,∠FAP+∠AFP=90°,∴∠AEP=∠AFP,∴AE=AF,∵△A′EF是由△AEF翻折,∴AE=EA′,AF=FA′,∴AE=EA′=A′F=FA,∴四邊形AEA′F是菱形,∴AP=PA′.①當CB=CA′時,∵AA′=AC-CA′=3,∴AP=AA′=.②當A′C=A′B時,∵∠A′CB=∠A′BC=∠BAC,∴△A′CB∽△BAC,∴=,∴A′C=,∴AA′=8-=,∴AP=AA′=
三、解答題(本大題共8小題,共75分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
16.(本題共2小題,每小題5分,共10分)
(1)計算:(-)-1-|-3|-(3-π)0+2cos45°.
解:原式=-4-3-1+=-8+.
(2)分解因式:(x2-x)2-12(x2-x)+36.
解:原式=(x2-x-6)2=[(x+2)(x-3)]2=(x+2)2(x-3)2
17.(本題7分)解分式方程:-=.
解:原方程可化為3(3x-1)-4x=7,
整理得:5x=10,
解得:x=2,
經檢驗x=2是原方程的解,
則原分式方程的解為x=2
18.(本題7分)近幾年來,國家對購買新能源汽車實行補助政策,2016年某省對新能源汽車中的“插電式混合動力汽車”實行每輛3萬元的補助,小劉對該省2016年“純電動乘用車”和“插電式混合動力車”的銷售計劃進行了研究,繪制出如圖所示的兩幅不完整的統計圖.
(1)補全條形統計圖;
(2)求出“D”所在扇形的圓心角的度數;
(3)為進一步落實該政策,該省計劃再補助4.5千萬元用于推廣上述兩大類產品,請你預測,該省2016年計劃大約共銷售“插電式混合動力汽車”多少輛?
注:R為純電動續航行駛里程,圖中A表示“純電動乘用車”(100km≤R<150km),B表示“純電動乘用車”(150km≤R<250km),C表示“純電動乘用車”(R≥250km),D為“插電式混合動力汽車”.
解:(1)補貼總金額為:4÷20%=20(千萬元),
則D類產品補貼金額為:20-4-4.5-5.5=6(千萬元),補全條形統計圖如圖:
(2)360°×=108°,
答:“D”所在扇形的圓心角的度數為108°;
(3)根據題意,2016年補貼D類“插電式混合動力汽車”金額為:6+4.5×=7.35(千萬元),
∴7350÷3=2450(輛),
答:預測該省2016年計劃大約共銷售“插電式混合動力汽車”2450輛
19.(本題7分)請閱讀以下材料,并完成相應的任務.[來源:Z。xx。k.Com]
傳說古希臘畢達哥拉斯(Pythagonas,約公元570年-約公元前500年)學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題.他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數,比如,他們研究過1、3、6、10、…,由于這些數可以用如圖所示的三角形點陣表示,他們就將其稱為三角形數,第n個三角形數可以用(n≥1)表示.
任務:請根據上面材料,證明以下結論.
(1)任意一個三角形數乘8再加1是一個完全平方數;
(2)連續兩個三角形數的和是一個完全平方數.
證明:(1)∵×8+1=4n2+4n+1=(2n+1)2,∴任意一個三角形數乘8再加1是一個完全平方數;
(2)∵第n個三角形數為,第n+1個三角形數為,
∴這兩個三角形數的和為:+==(n+1)2,
即連續兩個三角形數的和是一個完全平方數
20.(本題8分)某校準備組織學生及家長代表到桂林進行社會實踐活動,為便于管理,所有人員必須乘坐同一列高鐵,高鐵單程票價格如表所示,二等座學生票可打7.5折,已知所有人員都買一等座單程火車票需6175元,都買二等座單程火車票需3150元;如果家長代表與教師的人數之比為2∶1.
運行區間 | 票價 |
|
|
起點站 | 終點站 | 一等座 | 二等座 |
都勻 | 桂林 | 95(元) | 60(元) |
(1)參加社會實踐活動的老師、家長代表與學生各有多少人?
(2)由于各種原因,二等座單程火車票只能買x張(x<參加社會實踐的總人數),其余的須買一等座單程火車票,在保證所有人員都有座位的前提下,請你設計最經濟的購票方案,并寫出購買單程火車票的總費用y與x之間的函數關系式;
(3)在(2)的方案下,請求出當x=30時,購買單程火車票的總費用.
解:(1)設參加社會實踐的老師有m人,學生有n人,則學生家長有2m人,
根據題意得:,
解得:,則2m=10.
答:參加社會實踐的老師、家長與學生各有5、10與50人;
(2)由(1)知所有參與人員總共有65人,其中學生有50人,
①當50≤x<65時,最經濟的購票方案為:
學生都買學生票共50張,(x-50)名成年人買二等座火車票,(65-x)名成年人買一等座火車票.
∴火車票的總費用(單程)y與x之間的函數關系式為:y=60×0.75×50+60(x-50)+95(65-x),
即y=-35x+5425(50≤x<65);
②當0<x<50時,最經濟的購票方案為:一部分學生買學生票共x張,其余的學生與家長老師一起購買一等座火車票共(65-x)張.
∴火車票的總費用(單程)y與x之間的函數關系式為:y=60×0.75x+95(65-x),
即y=-50x+6175(0<x<50),
∴購買單程火車票的總費用y與x之間的函數關系式為:y=;
(3)∵x=30<50,
∴y=-50x+6175=-50×30+6185=4675,[來源:Zxxk.Com]
答:當x=30時,購買單程火車票的總費用為4675元
21.(本題10分)放風箏是大家喜愛的一種運動,星期天的上午小明在市政府廣場上放風箏.如圖,他在A處不小心讓風箏掛在了一棵樹梢上,風箏固定在了D處,此時風箏AD與水平線的夾角為30°,為了便于觀察,小明迅速向前邊移動,收線到達了離A處10米的B處,此時風箏線BD與水平線的夾角為45°.已知點A,B,C在同一條水平直線上,請你求出小明此時所收回的風箏線的長度是多少米?(風箏線AD,BD均為線段,≈1.414,≈1.732,最后結果精確到1米).
解:如圖,作DH⊥BC于H,設DH=x米.
∵∠AHD=90°,
∴在Rt△ADH中,∠DAH=30°,AD=2DH=2x,AH==x,
在Rt△BDH中,∠DBH=45°,BH=DH=x,BD=x,
∵AH-BH=AB=10,
即x-x=10,
∴x=5(+1),
則小明此時所收回的風箏的長度為:
AD-BD=2x-x=(2-)×5(+1)≈(2-1.414)×5×(1.732+1)≈8米.
答:小明此時所收回的風箏線的長度約是8米
22.(本題12分)△ABC和△DBE是繞點B旋轉的兩個相似三角形,其中∠ABC與∠DBE、∠A與∠D為對應角.
(1)如圖①,若△ABC和△DBE分別是以∠ABC與∠DBE為頂角的等腰直角三角形,且兩三角形旋轉到使點B、C、D在同一條直線上的位置時,請直接寫出線段AD與線段EC的關系;[來源:學科網]
(2)若△ABC和△DBE為含有30°角的直角三角形,且兩個三角形旋轉到如圖②的位置時,試確定線段AD與線段EC的關系,并說明理由;
(3)若△ABC和△DBE為如圖③的兩個三角形,且∠ACB=α,∠BDE=β,在繞點B旋轉的過程中,直線AD與EC夾角的度數是否改變?若不改變,直接用含α、β的式子表示夾角的度數;若改變,請說明理由.
解:(1)線段AD與線段CE的關系是AD⊥EC,AD=EC;
(2)如圖②,連接AD、EC并延長,設交點為點F,∵△ABC∽△DBE,∴=,∴=.∵∠ABC=∠DBE=90°,∴∠1+∠3=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2,∴△ABD∽△CBE.∴=.在Rt△ACB中,∠ACB=30°,tan∠ACB=,∵tan30°=,∴=.又∵∠DBE=90°,∠DEB=30°,∴∠4=60°,∴∠5+∠6=120°.∵△ABD∽△CBE,∴∠5=∠CEB=30°+∠7,∴∠7=∠5-30°,∠6=120°-∠5,∴∠7+∠6=90°,∴∠DFE=90°即AD⊥CE;(3)在繞點B旋轉的過程中,直線AD與EC夾角的度數不改變,且夾角度數為(180-α-β)度
23.(本題14分)如圖,拋物線y=ax2+bx過A(4,0),B(1,3)兩點,點C、B關于拋物線的對稱軸對稱,過點B作直線BH⊥x軸,交x軸于點H.
(1)求拋物線的表達式,并求出△ABC的面積;
(2)點P是拋物線上一動點,且位于第四象限,當△ABP的面積為6時,求出點P的坐標;
(3)若點M在直線BH上運動,點N在x軸上運動,當以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角
三角形時,請直接寫出此時△CMN的面積.
解:(1)把點A(4,0),B(1,3)代入y=ax2+bx,得,解得;∴該拋物線的表達式為y=-x2+4x;∴對稱軸為x=2,∴點C的坐標為(3,3),又∵點B的坐標為(1,3),∴BC=2,∴S△ABC=×2×3=3;(2)如圖①,過P點作PD⊥BH交BH于點D,設點P(m,-m2+4m),根據題意,得BH=AH=3,HD=m2-4m,PD=m-1,∴S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD-S△BPD,即6=×3×3+(3+
m-1)(m2-4m)-(m-1)(3+m2-4m),∴3m2-15m=0
,m1=0(舍去),m2=5,∴點P坐標為(5,-5);
(3)以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時,分三類情況討論:①以點M為直角頂點且M在x軸上方時,如圖②,CM=MN,∠CMN=90°,
則△CBM≌△MHN,∴BC=MH=2,BM=HN=3-2=1,∴M(1,2),N(2,0),由勾股定理得:MC==,∴S△CMN=××=;②以點M為直角頂點且M在x軸下方時,如圖③,作輔助線,構建如圖③的兩直角三角形:Rt△NEM和Rt△MDC,得Rt△NEM≌Rt△MDC,∴EM=CD=5,MD=ME=2,由勾股定理得:CM==,∴S△CMN=××=;③以點N為直角頂點且N在y軸左側時,如圖④,CN=MN,∠MNC=90°,作輔助線,同理得:CN==,∴S△CMN=××=17;④以點N為直角頂點且N在y軸右側時,作輔助線,如圖⑤,同理得:CN===,此時點N與點A重合,∴S△CMN=××=5;⑤以C
為直角頂點時,不能構成滿足條件的等腰直角三角形;綜上所述:△CMN的面積為:或或17或5
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