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2017黃石市中考數學模擬試題　

一、仔細選一選（本題有10個小題，每小題3分，共30分）

1．（3分）方程3x2﹣4x﹣1=0的二次項系數和一次項系數分別為（　　）

A．3和4????????????? B．3和﹣4????????????? C．3和﹣1????????????? D．3和1

2．（3分）二次函數y=x2﹣2x+2的頂點坐標是（　　）

A．（1，1）????????????? B．（2，2）????????????? C．（1，2）????????????? D．（1，3）

3．（2017黃石數學）（3分）關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m=0的常數項為0，則m的值為（　　）

A．1????????????? B．2????????????? C．1或2????????????? D．0

4．（3分）用配方法解方程x2+6x+4=0，下列變形正確的是（　　）

A．（x+3）2=﹣4????????????? B．（x﹣3）2=4????????????? C．（x+3）2=5????????????? D．（x+3）2=±

5．（3分）下列方程中沒有實數根的是（　　）

A．x2﹣x﹣1=0????????????? B．x2+3x+2=0

C．2015x2+11x﹣20=0????????????? D．x2+x+2=0

6．（3分）某商品經過連續兩次降價，銷售單價由原來200元降到162元．設平均每次降價的百分率為x，根據題意可列方程為（　　）

A．200（1﹣x）2=162????????????? B．200（1+x）2=162????????????? C．162（1+x）2=200????????????? D．162（1﹣x）2=200

7．（3分）將拋物線y=x2+1先向左平移2個單位，再向下平移4個單位，那么所得到的拋物線的函數關系式是（　　）

A．y=（x+2）2+3????????????? B．y=（x+2）2﹣3????????????? C．y=（x﹣2）2+3????????????? D．y=（x﹣2）2﹣3

8．（3分）在同一直角坐標系中，一次函數y=ax+c和二次函數y=ax2+c的圖象大致為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

9．（2017黃石數學）（3分）已知拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c，則下列說法中錯誤的是（　　）

A．a確定拋物線的形狀與開口方向

B．若將拋物線C沿y軸平移，則a，b的值不變

C．若將拋物線C沿x軸平移，則a的值不變

D．若將拋物線C沿直線l：y=x+2平移，則a、b、c的值全變

10．（3分）已知二次函數的解析式為y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列說法：

①b2﹣4ac＜0；

②ab+ac＜0；

③方程ax2+bx+c=0有兩個不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；

④二次函數的圖象與坐標軸有三個不同交點，

其中正確的個數是（　　）

A．1????????????? B．2????????????? C．3????????????? D．4

二、認真填一填（本題有6個小題，每小題3分，共18分）

11．（3分）若ax2+bx+c=0是關于x的一元二次方程，則不等式3a+6＞0的解集是　?? 　．

12．（2017黃石數學）（3分）如果方程x2+（k﹣1）x﹣3=0的一個根是1，那么k=　?? 　，另一個根x=　?? 　．

13．（3分）已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2，且經過點（1，4）和點（5，0），則該拋物線的解析式為　?? 　．

14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y=x2﹣2x+2上運動．過點A作AC⊥x軸于點C，以AC為對角線作矩形ABCD，連結BD，則對角線BD的最小值為　?? 　．

15．（3分）如圖，兩條拋物線，與分別經過點（﹣2，0），（2，0）且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為　?? 　．

16．（2017黃石數學）（3分）如圖所示，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過（﹣1，0）和（0，﹣1）兩點，則化簡代數式+=　?? 　．

三、全面答一答（本題有9個小題，共72分）

17．（12分）解方程

（1）2（x﹣3）2=8（直接開平方法）???????

（2）4x2﹣6x﹣3=0（配方法）

（3）（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（分解因式法）????

（4）（x+8）（x+1）=﹣12（運用適當的方法）

18．（2017黃石數學）（8分）關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個不等實根x1、x2．

（1）求實數k的取值范圍．

（2）若方程兩實根x1、x2滿足x1+x2=﹣x1?x2，求k的值．

19．（8分）閱讀下面的材料，回答問題：

解方程x4﹣5x2+4=0，這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：

設x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變為y2﹣5y+4=0? ①，解得y1=1，y2=4．

當y=1時，x2=1，∴x=±1；

當y=4時，x2=4，∴x=±2；

∴原方程有四個根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．

（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用　?? 　法達到　?? 　的目的，體現了數學的轉化思想．

（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．

20．（8分）飛機著陸后滑行的距離S（單位：m）關于滑行時間t（單位：s）的函數解析式是：S=60t﹣1.5t2

（1）求飛機著陸時的速度；

（2）求出t的取值范圍；

（3）畫出函數S的圖象并求出飛機著陸后滑行多遠才能停下來？

21．（2017黃石數學）（7分）某新建火車站站前廣場有一塊長為20米，寬為8米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為56米2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖所示），問人行通道的寬度是多少米？

22．（8分）平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x2+bx+c經過（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）兩點，其中m為常數．

（1）求b的值，并用含m的代數式表示c；

（2）若拋物線y=x2+bx+c與x軸有公共點，求m的值；

（3）設（a，y1）、（a+2，y2）是拋物線y=x2+bx+c上的兩點，請比較y2﹣y1與0的大小，并說明理由．

23．（2017黃石數學）（9分）某公司經過市場調查發現，該公司生產的某商品在第x天的售價（1≤x≤100）為（x+40）元/件，而該商品每天的銷量滿足關系式y=200﹣2x．如果該商品第20天的售價按7折出售，仍然可以獲得40%的高額利潤．

（1）求該公司生產每件商品的成本為多少元；

（2）問銷售該商品第幾天時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？

（3）該公司每天需要控制人工、水電和房租支出共計a元，若考慮這一因素后公司對最大利潤要控制在4000元至5000元之間（包含4000和5000），且保證至少有90天的盈利，請直接寫出a的取值范圍．

24．（12分）如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求點A、B、C的坐標；

（2）點M（m，0）為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N，可得矩形PQNM．如圖，點P在點Q左邊，試用含m的式子表示矩形PQNM的周長；

（3）當矩形PQNM的周長最大時，m的值是多少？并求出此時的△AEM的面積；

（4）在（3）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ，過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）．若FG=2DQ，求點F的坐標．

2017黃石市中考數學模擬試題參考答案與試題解析

一、仔細選一選（本題有10個小題，每小題3分，共30分）

1．（3分）方程3x2﹣4x﹣1=0的二次項系數和一次項系數分別為（　　）

A．3和4????????????? B．3和﹣4????????????? C．3和﹣1????????????? D．3和1

【分析】根據方程的一般形式和二次項系數以及一次項系數的定義即可直接得出答案．

【解答】解：∵3x2﹣4x﹣1=0，

∴方程3x2﹣4x﹣1=0的二次項系數是3，一次項系數是﹣4；

故選B．

【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．

2．（3分）二次函數y=x2﹣2x+2的頂點坐標是（　　）

A．（1，1）????????????? B．（2，2）????????????? C．（1，2）????????????? D．（1，3）

【分析】根據頂點坐標公式，可得答案．

【解答】解：y=x2﹣2x+2的頂點橫坐標是﹣=1，縱坐標是=1，

y=x2﹣2x+2的頂點坐標是（1，1）．

故選：A．

【點評】本題考查了二次函數的性質，二次函數的頂點坐標是（﹣，）．

3．（2017黃石數學）（3分）關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m=0的常數項為0，則m的值為（　　）

A．1????????????? B．2????????????? C．1或2????????????? D．0

【分析】根據一元二次方程的定義可知m﹣2≠0，再根據常數項為0，即可得到m2﹣2m=0，列出方程組求解即可．

【解答】解：∵關于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m=0的常數項為0，

∴，

解m﹣2≠0得m≠2；

解m2﹣2m=0得m=0或2．

∴m=0．

故選D．

【點評】此題考查了一元二次方程的定義．判斷一個方程是否是一元二次方程必須具備以下3個條件：

（1）是整式方程，

（2）只含有一個未知數，

（3）方程中未知數的最高次數是2．

這三個條件缺一不可，尤其要注意二次項系數a≠0這個最容易被忽略的條件．

4．（2017黃石數學）（3分）用配方法解方程x2+6x+4=0，下列變形正確的是（　　）

A．（x+3）2=﹣4????????????? B．（x﹣3）2=4????????????? C．（x+3）2=5????????????? D．（x+3）2=±

【分析】把常數項4移到等號的右邊，再在等式的兩邊同時加上一次項系數6的一半的平方，配成完全平方的形式，從而得出答案．

【解答】解：∵x2+6x+4=0，

∴x2+6x=﹣4，

∴x2+6x+9=5，即（x+3）2=5．

故選：C．

【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．

5．（3分）下列方程中沒有實數根的是（　　）

A．x2﹣x﹣1=0????????????? B．x2+3x+2=0

C．2015x2+11x﹣20=0????????????? D．x2+x+2=0

【分析】分別求出各個選項中一元二次方程根的判別式，進而作出判斷．

【解答】解：A、x2﹣x﹣1=0，△=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=9＞0，方程有兩個不相等的根，此選項錯誤；

B、x2+3x+2=0，△=32﹣4×2=1＞0，方程有兩個不相等的根，此選項錯誤；

C、2015x2+11x﹣20=0，△=112﹣4×2015×（﹣20）＞0，方程有兩個不相等的根，此選項錯誤；

D、x2+x+2=0，△=12﹣4×2=﹣7＜0，方程沒有實數根，此選項正確；

故選D．

【點評】本題主要考查了根的判別式的知識，利用一元二次方程根的判別式（△=b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：

①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；

②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；

③當△＜0時，方程無實數根．

6．（2017黃石數學）（3分）某商品經過連續兩次降價，銷售單價由原來200元降到162元．設平均每次降價的百分率為x，根據題意可列方程為（　　）

A．200（1﹣x）2=162????????????? B．200（1+x）2=162????????????? C．162（1+x）2=200????????????? D．162（1﹣x）2=200

【分析】此題利用基本數量關系：商品原價×（1﹣平均每次降價的百分率）=現在的價格，列方程即可．

【解答】解：由題意可列方程是：200×（1﹣x）2=168．

故選A．

【點評】此題考查一元二次方程的應用最基本數量關系：商品原價×（1﹣平均每次降價的百分率）=現在的價格．

7．（3分）將拋物線y=x2+1先向左平移2個單位，再向下平移4個單位，那么所得到的拋物線的函數關系式是（　　）

A．y=（x+2）2+3????????????? B．y=（x+2）2﹣3????????????? C．y=（x﹣2）2+3????????????? D．y=（x﹣2）2﹣3

【分析】根據平移規律：“左加右減，上加下減”，直接代入函數解析式求得平移后的函數解析式．

【解答】解：拋物線y=x2+1先向左平移2個單位，再向下平移4個單位，得

y=（x+2）2﹣3，

故選：B．

【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減．并用規律求函數解析式．

8．（2017黃石數學）（3分）在同一直角坐標系中，一次函數y=ax+c和二次函數y=ax2+c的圖象大致為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【分析】根據二次函數的開口方向，與y軸的交點；一次函數經過的象限，與y軸的交點可得相關圖象．

【解答】解：∵一次函數和二次函數都經過y軸上的（0，c），

∴兩個函數圖象交于y軸上的同一點，故B選項錯誤；

當a＞0時，二次函數開口向上，一次函數經過一、三象限，故C選項錯誤；

當a＜0時，二次函數開口向下，一次函數經過二、四象限，故A選項錯誤；

故選：D．

【點評】本題考查二次函數及一次函數的圖象的性質；用到的知識點為：二次函數和一次函數的常數項是圖象與y軸交點的縱坐標；一次函數的一次項系數大于0，圖象經過一、三象限；小于0，經過二、四象限；二次函數的二次項系數大于0，圖象開口向上；二次項系數小于0，圖象開口向下．

9．（3分）已知拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c，則下列說法中錯誤的是（　　）

A．a確定拋物線的形狀與開口方向

B．若將拋物線C沿y軸平移，則a，b的值不變

C．若將拋物線C沿x軸平移，則a的值不變

D．若將拋物線C沿直線l：y=x+2平移，則a、b、c的值全變

【分析】根據平移的性質判斷即可．

【解答】解：∵平移的基本性質：平移不改變圖形的形狀和大小；

∴拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c，a確定拋物線的形狀與開口方向；

若將拋物線C沿y軸平移，頂點發生了變化，對稱軸沒有變化，a的值不變，則﹣不變，所以b的值不變；

若將拋物線C沿直線l：y=x+2平移，則a的值不變，

故選D．

【點評】本題考查平移的基本性質：①平移不改變圖形的形狀和大小；②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等．

10．（2017黃石數學）（3分）已知二次函數的解析式為y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列說法：

①b2﹣4ac＜0；

②ab+ac＜0；

③方程ax2+bx+c=0有兩個不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0；

④二次函數的圖象與坐標軸有三個不同交點，

其中正確的個數是（　　）

A．1????????????? B．2????????????? C．3????????????? D．4

【分析】根據題意把a的符號分成兩種情況，再由a2+ab+ac＜0判斷出a+b+c的符號，即可得出當x=1時，y的符號，從而得出b+c的符號，再得出方程ax2+bx+c=0有一個根大于1，一個根小于1，即可得出（x1﹣1）（x2﹣1）＜0；b2﹣4ac＞0；拋物線和坐標軸有二個交點．

【解答】解：當a＞0時，

∵a2+ab+ac＜0，

∴a+b+c＜0，

∴b+c＜0，

如圖1，

∴b2﹣4ac＞0，故①錯誤；

a（b+c）＜0，故②正確；

∴方程ax2+bx+c=0有兩個不同根x1、x2，且x1＜1，x2＞1，

∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，

即（x1﹣1）（1﹣x2）＞0，故③正確；

∴二次函數的圖象與坐標軸有二個不同交點，故④錯誤；

故選B．

【點評】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，掌握分類討論思想是解題的關鍵．

二、（2017黃石數學）認真填一填（本題有6個小題，每小題3分，共18分）

11．（3分）若ax2+bx+c=0是關于x的一元二次方程，則不等式3a+6＞0的解集是　a＞﹣2且a≠0　．

【分析】本題根據一元二次方程的定義和解不等式來解答；

一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數．

【解答】解：∵3a+6＞0，

∴3a＞﹣6，

解得：a＞﹣2；

根據一元二次方程的定義，a≠0；

所以a＞﹣2且a≠0．

【點評】本題是一個方程與不等式相結合的題目，解關于x的不等式是本題的一個難點；解不等式時，移項時要注意符號的變化．

12．（3分）如果方程x2+（k﹣1）x﹣3=0的一個根是1，那么k=　3　，另一個根x=　﹣3　．

【分析】可將該方程的已知根1代入兩根之積公式和兩根之和公式列出方程組，解方程組即可求出k值和方程的另一根．

【解答】解：設方程的另一根為x1，

又∵x=1，

∴，

解得x1=﹣3，k=3．

故填空答案為k=3，x=﹣3．

【點評】此題也可先將x=1代入方程x2+（k﹣1）x﹣3=0中求出k的值，再利用根與系數的關系求方程的另一根．

13．（3分）已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2，且經過點（1，4）和點（5，0），則該拋物線的解析式為　y=﹣x2+2x+　．

【分析】根據題意，已知對稱軸x=2，圖象經過點（5，0），根據拋物線的對稱性，可知圖象經過另一點（﹣1，0），設拋物線的交點式y=a（x+1）（x﹣5），把點（1，4）代入即可．

【解答】解：∵拋物線的對稱軸為x=2，且經過點（5，0），

根據拋物線的對稱性，圖象經過另一點（﹣1，0），

設拋物線的交點式y=a（x+1）（x﹣5），

把點（1，4）代入，得：

4=a（1+1）×（1﹣5），解得a=﹣，

所以y=﹣（x+1）（x﹣5），

即y=﹣x2+2x+．

故答案為：y=﹣x2+2x+．

【點評】當已知函數圖象與x軸有兩交點時，利用交點式求解析式比較簡單；

當已知函數的頂點坐標，或已知函數對稱軸時，利用頂點式求解析式比較簡單；

當已知函數圖象經過一般的三點時，利用一般式求解．

14．（2017黃石數學）（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y=x2﹣2x+2上運動．過點A作AC⊥x軸于點C，以AC為對角線作矩形ABCD，連結BD，則對角線BD的最小值為　1　．

【分析】先利用配方法得到拋物線的頂點坐標為（1，1），再根據矩形的性質得BD=AC，由于AC的長等于點A的縱坐標，所以當點A在拋物線的頂點時，點A到x軸的距離最小，最小值為1，從而得到BD的最小值．

【解答】解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，

∴拋物線的頂點坐標為（1，1），

∵四邊形ABCD為矩形，

∴BD=AC，

而AC⊥x軸，

∴AC的長等于點A的縱坐標，

當點A在拋物線的頂點時，點A到x軸的距離最小，最小值為1，

∴對角線BD的最小值為1．

故答案為1．

【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了矩形的性質．

15．（3分）如圖，兩條拋物線，與分別經過點（﹣2，0），（2，0）且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為　8　．

【分析】把陰影圖形分割拼湊成矩形，利用矩形的面積即可求得答案．

【解答】（2017黃石數學）解：如圖，過y2=﹣x2﹣1的頂點（0，﹣1）作平行于x軸的直線與y1=﹣x2+1圍成的陰影，

同過點（0，﹣3）作平行于x軸的直線與y2=﹣x2﹣1圍成的圖形形狀相同，

故把陰影部分向下平移2個單位即可拼成一個矩形，

因此矩形的面積為4×2=8．

故填8．

【點評】此題主要考查利用二次函數圖象的特點與分割拼湊的方法求不規則圖形的面積．

16．（3分）如圖所示，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過（﹣1，0）和（0，﹣1）兩點，則化簡代數式+=　　．

【分析】由二次函數y=ax2+bx+c的圖象過（﹣1，0）和（0，﹣1）兩點，求c的值及a、b的關系式，根據對稱軸的位置判斷a的取值范圍，再把二次根式化簡求值．

【解答】解：把（﹣1，0）和（0，﹣1）兩點代入y=ax2+bx+c中，得

a﹣b+c=0，c=﹣1，

∴b=a+c=a﹣1，

由圖象可知，拋物線對稱軸x=﹣＞0，且a＞0，

∴a﹣1＜0，0＜a＜1，

+

=+

=|a+|+|a﹣|，

=a+﹣a+，

=．

故答案為：．

【點評】本題考查了二次函數圖象上的點與二次函數解析式的關系，對稱軸的性質，根據對稱軸的位置確定a的取值范圍的解題的關鍵．

三、（2017黃石數學）全面答一答（本題有9個小題，共72分）

17．（12分）解方程

（1）2（x﹣3）2=8（直接開平方法）???????

（2）4x2﹣6x﹣3=0（配方法）

（3）（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（分解因式法）????

（4）（x+8）（x+1）=﹣12（運用適當的方法）

【分析】（1）根據直接開方法的步驟即可解決問題；

（2）根據配方法的步驟即可解決問題；

（3）移項后，提取公因式（2x﹣3）即可解決問題；

（4）化為一般式，再利用因式分解法解方程即可；

【解答】解：（1）∵2（x﹣3）2=8，

∴（x﹣3）2=4，

∴x﹣3=±2

∴x1=1．x2=5．

（2）∵4x2﹣6x﹣3=0，

∴x2﹣x=，

∴x2﹣x+（）2=+（）2，

∴（x﹣）2=，

∴x1=，x=．

（3）∵（2x﹣3）2=5（2x﹣3），

∴（2x﹣3）（2x﹣3﹣5）=0，

∴2x﹣3=0或2x﹣8=0，

∴x1=，x2=4．

（4）∵（x+8）（x+1）=﹣12，

∴x2+9x+20=0，

∴（x+4）（x+5）=0，

∴x+4=0或x+5=0

∴x=﹣4或x=﹣5．

【點評】本題考查一元一次方程的解法，解題的關鍵是熟練掌握配方法、直接開方法、公式法、因式分解法等知識，屬于中考常考題型．

18．（2017黃石數學）（8分）關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個不等實根x1、x2．

（1）求實數k的取值范圍．

（2）若方程兩實根x1、x2滿足x1+x2=﹣x1?x2，求k的值．

【分析】（1）根據根與系數的關系得出△＞0，代入求出即可；

（2）根據根與系數的關系得出x1+x2=﹣（2k+1），x1?x2=k2+1，根據x1+x2=﹣x1?x2得出﹣（2k+1）=﹣（k2+1），求出方程的解，再根據（1）的范圍確定即可．

【解答】解：（1）∵原方程有兩個不相等的實數根，

∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，

解得：k＞，

即實數k的取值范圍是k＞；

（2）∵根據根與系數的關系得：x1+x2=﹣（2k+1），x1?x2=k2+1，

又∵方程兩實根x1、x2滿足x1+x2=﹣x1?x2，

∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），

解得：k1=0，k2=2，

∵k＞，

∴k只能是2．

【點評】本題考查了根與系數的關系和根的判別式的應用，能正確運用性質進行計算是解此題的關鍵，題目比較好，難度適中．

19．（2017黃石數學）（8分）閱讀下面的材料，回答問題：

解方程x4﹣5x2+4=0，這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：

設x2=y，那么x4=y2，于是原方程可變為y2﹣5y+4=0? ①，解得y1=1，y2=4．

當y=1時，x2=1，∴x=±1；

當y=4時，x2=4，∴x=±2；

∴原方程有四個根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．

（1）在由原方程得到方程①的過程中，利用　換元　法達到　降次　的目的，體現了數學的轉化思想．

（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12=0．

【分析】（1）本題主要是利用換元法降次來達到把一元四次方程轉化為一元二次方程，來求解，然后再解這個一元二次方程．

（2）利用題中給出的方法先把x2+x當成一個整體y來計算，求出y的值，再解一元二次方程．

【解答】解：（1）換元，降次

（2）設x2+x=y，原方程可化為y2﹣4y﹣12=0，

解得y1=6，y2=﹣2．

由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．

由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，

b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此時方程無實根．

所以原方程的解為x1=﹣3，x2=2．

【點評】本題應用了換元法，把關于x的方程轉化為關于y的方程，這樣書寫簡便且形象直觀，并且把方程化繁為簡化難為易，解起來更方便．

20．（2017黃石數學）（8分）飛機著陸后滑行的距離S（單位：m）關于滑行時間t（單位：s）的函數解析式是：S=60t﹣1.5t2

（1）求飛機著陸時的速度；

（2）求出t的取值范圍；

（3）畫出函數S的圖象并求出飛機著陸后滑行多遠才能停下來？

【分析】（1）直接由函數解析式得出答案即可；

（2）由于飛機著陸，不會倒著跑，所以當S取得最大值時，t也取得最大值，求得t的取值范圍即可；

（3）利用配方法求得函數的最值，也就是飛機著陸后滑行的最遠距離．

【解答】解：（1）飛機著陸時的速度V=60；

（2）當S取得最大值時，飛機停下來，

則S=60t﹣1.5t2=﹣1.5（x﹣20）2+600，

此時t=20

因此t的取值范圍是0≤t≤20；

（3）如圖，

S=60t﹣1.5t2=﹣1.5（x﹣20）2+600．

飛機著陸后滑行600米才能停下來．

【點評】此題考查二次函數的實際運用，運用二次函數求最值問題常用公式法或配方法是解題關鍵．

21．（7分）某新建火車站站前廣場有一塊長為20米，寬為8米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為56米2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖所示），問人行通道的寬度是多少米？

【分析】設人行通道的寬度為x米，這每塊矩形綠地的長為米、寬為（8﹣2x）米（0＜x＜4），根據矩形的面積公式結合兩塊矩形綠地的面積之和為56米2，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結論．

【解答】（2017黃石數學）解：設人行通道的寬度為x米，這每塊矩形綠地的長為米、寬為（8﹣2x）米（0＜x＜4），

根據題意得：2××（8﹣2x）=56，

整理得：3x2﹣32x+52=0，

解得：x1=2，x2=（不合題意，舍去）．

答：人行通道的寬為2米．

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．

22．（8分）平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x2+bx+c經過（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）兩點，其中m為常數．

（1）求b的值，并用含m的代數式表示c；

（2）若拋物線y=x2+bx+c與x軸有公共點，求m的值；

（3）設（a，y1）、（a+2，y2）是拋物線y=x2+bx+c上的兩點，請比較y2﹣y1與0的大小，并說明理由．

【分析】（1）由拋物線上兩點代入拋物線解析式中即可求出b和c；

（2）令y=0，拋物線和x軸有公共點，即△≥0，和非負數確定出m的值，

（3）將兩點代入拋物線解析式中，表示出y1，y2，求出y2﹣y1分情況討論即可

【解答】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c經過（﹣1，m2+2m+1）、（0，m2+2m+2）兩點，

∴，

∴，

即：b=2，c=m2+2m+2，

（2）由（1）得y=x2+2x+m2+2m+2，

令y=0，得x2+2x+m2+2m+2=0，

∵拋物線與x軸有公共點，

∴△=4﹣4（m2+2m+2）≥0，

∴（m+1）2≤0，

∵（m+1）2≥0，

∴m+1=0，

∴m=﹣1；

（3）由（1）得，y=x2+2x+m2+2m+2，

∵（a，y1）、（a+2，y2）是拋物線的圖象上的兩點，

∴y1=a2+2a+m2+2m+2，y2=（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2，

∴y2﹣y1=[（a+2）2+2（a+2）+m2+2m+2]﹣[a2+2a+m2+2m+2]

=4（a+2）

當a+2≥0，即a≥﹣2時，y2﹣y1≥0，

當a+2＜0，即a＜﹣2時，y2﹣y1＜0．

【點評】此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，拋物線與x軸的交點，比較代數式的大小，解本題的關鍵是求出b，用m表示出拋物線解析式，難點是分類討論．

23．（2017黃石數學）（9分）某公司經過市場調查發現，該公司生產的某商品在第x天的售價（1≤x≤100）為（x+40）元/件，而該商品每天的銷量滿足關系式y=200﹣2x．如果該商品第20天的售價按7折出售，仍然可以獲得40%的高額利潤．

（1）求該公司生產每件商品的成本為多少元；

（2）問銷售該商品第幾天時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？

（3）該公司每天需要控制人工、水電和房租支出共計a元，若考慮這一因素后公司對最大利潤要控制在4000元至5000元之間（包含4000和5000），且保證至少有90天的盈利，請直接寫出a的取值范圍．

【分析】（1）設該公司生產每件商品的成本為a元，根據：實際售價﹣成本=利潤，列出方程，解方程可得；

（2）根據：每天利潤=單件利潤×每天銷售量列出函數關系式，配方成頂點式可得函數的最值情況；

（3）根據（2）中每天利潤減去每天開支a元列出函數關系式P=﹣2（x﹣45）2+6050﹣a，根據最大利潤要控制在4000元至5000元之間可得關于a的不等式，解不等式可得a的取值范圍，再由至少有90天的盈利可知﹣2x2+180x+2000﹣a=0的兩根x1、x2間距離x1﹣x2≥90，根據韋達定理可得關于a的不等式，求得a的范圍，綜合上述情況確定a的范圍．

【解答】解：（1）設該公司生產每件商品的成本為a元，根據題意，

得：0.7×（20+40）﹣a=0.4a，

解得：a=30，

故該公司生產每件商品的成本為30元；

（2）設第x天的銷售利潤為W，

則：W=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，

∴當x=45時，W取得最大值，最大值為6050元，

故問銷售該商品第45天時，每天的利潤最大，最大利潤是6050元；

（3）記公司每天控制人工、水電和房租支出共計a元后利潤為P，

則P=﹣2（x﹣45）2+6050﹣a，

根據題意：4000≤6050﹣a≤5000，

解得：1050≤a≤2050，

又∵至少有90天的盈利，

∴﹣2x2+180x+2000﹣a=0的兩根x1、x2間距離x1﹣x2≥90，

∴（x1﹣x2）2≥902，即（x1+x2）2﹣4x1x2≥902，

∵x1+x2=90，x1x2=，

∴902﹣4×≥902，解得：a≤2000，

綜上，1050≤a≤2000．

【點評】本題主要考查二次函數的實際應用能力，明確不等關系并據此列出方程或函數關系式是解題基礎，根據題意挖掘出不等關系求a的范圍是關鍵．

24．（2017黃石數學）（12分）如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求點A、B、C的坐標；

（2）點M（m，0）為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N，可得矩形PQNM．如圖，點P在點Q左邊，試用含m的式子表示矩形PQNM的周長；

（3）當矩形PQNM的周長最大時，m的值是多少？并求出此時的△AEM的面積；

（4）在（3）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ，過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）．若FG=2DQ，求點F的坐標．

【分析】（1）利用函數圖象與坐標軸的交點的求法，求出點A，B，C的坐標；

（2）先確定出拋物線對稱軸，用m表示出PM，MN即可；

（3）由（2）得到的結論判斷出矩形周長最大時，確定出m，進而求出直線AC解析式，即可；

（4）在（3）的基礎上，判斷出N應與原點重合，Q點與C點重合，求出DQ=DC=，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4即可．

【解答】解：

（1）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3）．

令y=0，則0=﹣x2﹣2x+3，

解得，x=﹣3或x=l，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

（2）由拋物線y=﹣x2﹣2x+3可知，對稱軸為x=﹣1．

∵M（m，0），

∴PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，

∴矩形PMNQ的周長=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2．

（3）∵﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，

∴矩形的周長最大時，m=﹣2．

∵A（﹣3，0），C（0，3），

設直線AC的解析式y=kx+b，

∴

解得k=l，b=3，

∴解析式y=x+3，

令x=﹣2，則y=1，

∴E（﹣2，1），

∴EM=1，AM=1，

∴S=AM×EM=．

（4）∵M（﹣2，0），拋物線的對稱軸為x=﹣l，

∴N應與原點重合，Q點與C點重合，

∴DQ=DC，

把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，

∴D（﹣1，4），

∴DQ=DC=．

∵FG=2DQ，

∴FG=4．

設F（n，﹣n2﹣2n+3），則G（n，n+3），

∵點G在點F的上方且FG=4，

∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）=4．

解得n=﹣4或n=1，

∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．

【點評】此題是二次函數綜合題，主要考查了函數圖象與坐標軸的交點的求法，待定系數法求函數解析式，函數極值的確定，解本題的關鍵是用m表示出矩形PMNQ的周長．

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