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2018年臨汾中考數學沖刺試題

一、沖刺試題選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）

1．﹣4的相反數（）

A．4????????????? B．﹣4????????????? C．????????????? D．﹣

2．下列運算正確的是（）

A．a2?a3=a6????????????? B．a6÷a5=a????????????? C．（﹣a2）4=a6????????????? D．a2+a3=a5

3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

4．下列命題中，真命題是（）

A．兩對角線相等的四邊形是矩形

B．兩對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C．兩對角線互相垂直的四邊形是菱形

D．兩對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形

5．如圖，直線l經過第二、三、四象限，l的解析式是y=（m﹣2）x+n，則m的取值范圍在數軸上表示為（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

6．拋物線y=﹣（x+2）2﹣3的頂點坐標是（）

A．（2，﹣3）????????????? B．（﹣2，3）????????????? C．（2，3）????????????? D．（﹣2，﹣3）

7．如圖，AB∥CD，∠CDE=140°，則∠A的度數為（）

A．140°????????????? B．60°????????????? C．50°????????????? D．40°

8．在反比例函數的圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，則k的取值范圍是（）

A．k＞1????????????? B．k＞0????????????? C．k≥1????????????? D．k＜1

9．如圖，在菱形ABCD中，AB=5，對角線AC=6．若過點A作AE⊥BC，垂足為E，則AE的長為（）

A．4????????????? B．????????????? C．????????????? D．5

10．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點D，連接BD，∠C=40°．則∠ABD的度數是（）

A．30°????????????? B．25°????????????? C．20°????????????? D．15°

11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC繞點C順時針旋轉得到，其中點A′與點A是對應點，點B′與點B是對應點，連接AB′，且A、B′、A′在同一條直線上，則AA′的長為（）

A．6????????????? B．4????????????? C．3????????????? D．3

12．二次函數y=x2+bx的圖象如圖，對稱軸為直線x=1，若關于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t為實數）在﹣1＜x＜4的范圍內有解，則t的取值范圍是（）

A．t≥﹣1????????????? B．﹣1≤t＜3????????????? C．﹣1≤t＜8????????????? D．3＜t＜8

二、填空題：共6小題，每小題3分，共18分．

13．點P（2，﹣3）關于x軸的對稱點坐標為．

14．已知x2﹣2x﹣4=0，則2x﹣x2+1=．

15．某招聘考試分筆試和面試兩種，其中筆試按60%、面試按40%計算加權平均數，作為總成績．孔明筆試成績90分，面試成績85分，那么孔明的總成績是分．

16．如圖，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD=30°，且BE=2，則CD=．

17．如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的兩點，且，若△AEF的面積為2，則四邊形EBCF的面積為．

18．一個幾何體的三視圖如圖，根據圖示的數據計算該幾何體的全面積為．（結果保留π）

三、解答題：19、20各6分，21、22各8分，23、24各9分，25、26各10分．

19．計算：（﹣1）2015+|﹣2|+tan30°+．

20．解分式方程： +=﹣1．

21．在一個不透明的口袋中裝有4張相同的紙牌，它們分別標有數字1，2，3，4．隨機地摸取出一張紙牌然后放回，再隨機摸取出一張紙牌，（1）計算兩次摸取紙牌上數字之和為5的概率；

（2）甲、乙兩個人進行游戲，如果兩次摸出紙牌上數字之和為奇數，則甲勝；如果兩次摸出紙牌上數字之和為偶數，則乙勝．這是個公平的游戲嗎？請說明理由．

22．在矩形ABCD中，點E是BC上一點，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F．

（1）求證：EF=EC；

（2）若AD=2AB，求∠FDC．

23．某公司銷售一種進價為20元/個的計算器，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化如下表：

同時，銷售過程中的其他開支（不含進價）總計40萬元．

（1）觀察并分析表中的y與x之間的對應關系，用所學過的一次函數，反比例函數或二次函數的有關知識寫出y（萬個）與x（元/個）的函數解析式．

（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬元）與銷售價格x（元/個）的函數解析式，銷售價格定為多少元時凈得利潤最大，最大值是多少？

（3）該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格x（元/個）的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為多少元？

24．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．

（1）求證：BE與⊙O相切；

（2）連接AD并延長交BE于點F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的長．

25．閱讀下列材料并解答：

對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，

即：當n為非負整數時，如果n﹣，則＜x＞=n．

如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…

試解決下列問題：

（1）填空：＜π＞=（π為圓周率）；

（2）求滿足＜x＞=x的所有非負實數x的值；

（3）設n為常數，且為正整數，函數y=x2﹣x+的自變量x在n≤x＜n+1范圍內取值時，函數值y為整數的個數記為a；滿足＜＞=n的所有整數k的個數記為b．求證：a=b=2n．

26．如圖，二次函數y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常數，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸交于C（0，﹣3），點D在二次函數的圖象上，CD∥AB，連接AD，過點A作射線AE交二次函數的圖象于點E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的代數式表示a；

（2）求證：為定值；

（3）設該二次函數圖象的頂點為F，探索：在x軸的負半軸上是否存在點G，連接GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由．

2018年臨汾中考數學沖刺試題參考答案

一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分）

1．﹣4的相反數（）

A．4????????????? B．﹣4????????????? C．????????????? D．﹣

【考點】相反數．

【分析】根據只有符號不同的兩個數叫做互為相反數解答．

【解答】解：﹣4的相反數4．

故選：A．

2．下列運算正確的是（）

A．a2?a3=a6????????????? B．a6÷a5=a????????????? C．（﹣a2）4=a6????????????? D．a2+a3=a5

【考點】同底數冪的除法；合并同類項；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．

【分析】根據同底數冪的乘法，可判斷A；根據同底數冪的除法，可判斷B；根據積的乘方，可判斷C；根據同底數冪的乘法，可判斷D．

【解答】解：A、同底數冪的乘法底數不變指數相加，故A錯誤；

B、同底數冪的除法底數不變指數相減，故B正確；

C、積的乘方等于乘方的積，故C錯誤；

D、不是同底數冪的乘法指數不能相加，故D錯誤；

故選：B．

3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】銳角三角函數的定義；勾股定理．

【分析】首先運用勾股定理求出斜邊的長度，再利用銳角三角函數的定義求解．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=．

∴cosA=，

故選：D．

4．下列命題中，真命題是（）

A．兩對角線相等的四邊形是矩形

B．兩對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C．兩對角線互相垂直的四邊形是菱形

D．兩對角線互相垂直且平分的四邊形是正方形

【考點】命題與定理．

【分析】分別利用矩形、菱形、正方形及平行四邊形的判定方法判定后即可確定正確的選項．

【解答】解：A、對角線互相平分且相等的四邊形是平行四邊形，故A錯；

B、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故B錯；

C、對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故C錯；

D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故D錯誤；

故選B．

5．如圖，直線l經過第二、三、四象限，l的解析式是y=（m﹣2）x+n，則m的取值范圍在數軸上表示為（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】一次函數圖象與系數的關系；在數軸上表示不等式的解集．

【分析】根據一次函數圖象與系數的關系得到m﹣2＜0且n＜0，解得m＜2，然后根據數軸表示不等式的方法進行判斷．

【解答】解：∵直線y=（m﹣2）x+n經過第二、三、四象限，

∴m﹣2＜0且n＜0，

∴m＜2且n＜0．

故選：C．

6．拋物線y=﹣（x+2）2﹣3的頂點坐標是（）

A．（2，﹣3）????????????? B．（﹣2，3）????????????? C．（2，3）????????????? D．（﹣2，﹣3）

【考點】二次函數的性質．

【分析】已知拋物線解析式為頂點式，根據頂點式的坐標特點求頂點坐標．

【解答】解：∵拋物線y=﹣（x+2）2﹣3為拋物線解析式的頂點式，

∴拋物線頂點坐標是（﹣2，﹣3）．

故選D．

7．如圖，AB∥CD，∠CDE=140°，則∠A的度數為（）

A．140°????????????? B．60°????????????? C．50°????????????? D．40°

【考點】平行線的性質．

【分析】先求出∠CDE的鄰補角，再根據兩直線平行，內錯角相等解答．

【解答】解：∵∠CDE=140°，

∴∠ADC=180°﹣140°=40°，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠ADC=40°．

故選：D．

8．在反比例函數的圖象的每一條曲線上，y都隨x的增大而減小，則k的取值范圍是（）

A．k＞1????????????? B．k＞0????????????? C．k≥1????????????? D．k＜1

【考點】反比例函數的性質．

【分析】根據反比例函數的性質，當反比例函數的系數大于0時，在每一支曲線上，y都隨x的增大而減小，可得k﹣1＞0，解可得k的取值范圍．

【解答】解：根據題意，在反比例函數圖象的每一支曲線上，y都隨x的增大而減小，

即可得k﹣1＞0，

解得k＞1．

故選：A．

9．如圖，在菱形ABCD中，AB=5，對角線AC=6．若過點A作AE⊥BC，垂足為E，則AE的長為（）

A．4????????????? B．????????????? C．????????????? D．5

【考點】菱形的性質．

【分析】連接BD，根據菱形的性質可得AC⊥BD，AO=AC，然后根據勾股定理計算出BO長，再算出菱形的面積，然后再根據面積公式BC?AE=AC?BD可得答案．

【解答】解：連接BD，交AC于O點，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=5，

∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，

∴∠AOB=90°，

∵AC=6，

∴AO=3，

∴B0==4，

∴DB=8，

∴菱形ABCD的面積是×AC?DB=×6×8=24，

∴BC?AE=24，

AE=，

故選：C．

10．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點D，連接BD，∠C=40°．則∠ABD的度數是（）

A．30°????????????? B．25°????????????? C．20°????????????? D．15°

【考點】切線的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質；等腰三角形的性質．

【分析】根據切線的性質求出∠OAC，結合∠C=40°求出∠AOC，根據等腰三角形性質求出∠B=∠BDO，根據三角形外角性質求出即可．

【解答】解：∵AC是⊙O的切線，

∴∠OAC=90°，

∵∠C=40°，

∴∠AOC=50°，

∵OB=OD，

∴∠ABD=∠BDO，

∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，

∴∠ABD=25°，

故選：B．

11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC繞點C順時針旋轉得到，其中點A′與點A是對應點，點B′與點B是對應點，連接AB′，且A、B′、A′在同一條直線上，則AA′的長為（）

A．6????????????? B．4????????????? C．3????????????? D．3

【考點】旋轉的性質．

【分析】利用直角三角形的性質得出AB=4，再利用旋轉的性質以及三角形外角的性質得出AB′=2，進而得出答案．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，

∴∠CAB=30°，故AB=4，

∵△A′B′C由△ABC繞點C順時針旋轉得到，其中點A′與點A是對應點，點B′與點B是對應點，連接AB′，且A、B′、A′在同一條直線上，

∴AB=A′B′=4，AC=A′C，

∴∠CAA′=∠A′=30°，

∴∠ACB′=∠B′AC=30°，

∴AB′=B′C=2，

∴AA′=2+4=6．

故選：A．

12．二次函數y=x2+bx的圖象如圖，對稱軸為直線x=1，若關于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（t為實數）在﹣1＜x＜4的范圍內有解，則t的取值范圍是（）

A．t≥﹣1????????????? B．﹣1≤t＜3????????????? C．﹣1≤t＜8????????????? D．3＜t＜8

【考點】二次函數與不等式（組）．

【分析】根據對稱軸求出b的值，從而得到x=﹣1、4時的函數值，再根據一元二次方程x2+bx﹣t=0（t為實數）在﹣1＜x＜4的范圍內有解相當于y=x2+bx與y=t在x的范圍內有交點解答．

【解答】解：對稱軸為直線x=﹣=1，

解得b=﹣2，

所以，二次函數解析式為y=x2﹣2x，

y=（x﹣1）2﹣1，

x=﹣1時，y=1+2=3，

x=4時，y=16﹣2×4=8，

∵x2+bx﹣t=0相當于y=x2+bx與直線y=t的交點的橫坐標，

∴當﹣1≤t＜8時，在﹣1＜x＜4的范圍內有解．

故選：C．

二、填空題：共6小題，每小題3分，共18分．

13．點P（2，﹣3）關于x軸的對稱點坐標為　（2，3）　．

【考點】關于x軸、y軸對稱的點的坐標．

【分析】根據關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數，可得答案．

【解答】解：點P（2，﹣3）關于x軸的對稱點坐標為（2，3），

故答案為：（2，3）．

14．已知x2﹣2x﹣4=0，則2x﹣x2+1=　﹣3　．

【考點】代數式求值．

【分析】原式前兩項提取﹣1變形后，將已知等式變形代入計算即可求出值．

【解答】解：∵x2﹣2x﹣4=0，即x2﹣2x=4，

∴原式=﹣（x2﹣2x）+1=﹣4+1=﹣3．

故答案為：﹣3．

15．某招聘考試分筆試和面試兩種，其中筆試按60%、面試按40%計算加權平均數，作為總成績．孔明筆試成績90分，面試成績85分，那么孔明的總成績是　88　分．

【考點】加權平均數．

【分析】根據筆試和面試所占的百分比以及筆試成績和面試成績，列出算式，進行計算即可．

【解答】解：∵筆試按60%、面試按40%，

∴總成績是（90×60%+85×40%）=88分，

故答案為：88．

16．如圖，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠BAD=30°，且BE=2，則CD=　4　．

【考點】垂徑定理；圓周角定理．

【分析】先根據圓周角定理求出∠C的度數，再由CD⊥AB可知∠CEB=90°，CD=2CE，由直角三角形的性質求出BC的長，根據勾股定理求出CE的長，進而可得出結論．

【解答】解：∵∠BAD=30°，BE=2，

∴∠C=∠BAD=30°．

∵CD⊥AB，

∴∠CEB=90°，CD=2CE，

∴BC=2BE=4，

∴CE===2，

∴CD=2CE=4．

故答案為：4．

17．如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的兩點，且，若△AEF的面積為2，則四邊形EBCF的面積為　16　．

【考點】相似三角形的判定與性質．

【分析】根據題意可判定△AEF∽△ABC，利用面積比等于相似比平方可得出△ABC的面積，繼而根據S四邊形EBCF=S△ABC﹣S△AEF，即可得出答案．

【解答】解：∵，

∴EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴=（）2=（）2=，

∴S△ABC=18，

則S四邊形EBCF=S△ABC﹣S△AEF=18﹣2=16．

故答案為：16．

18．一個幾何體的三視圖如圖，根據圖示的數據計算該幾何體的全面積為　24π　．（結果保留π）

【考點】圓錐的計算；由三視圖判斷幾何體．

【分析】根據圓錐側面積公式首先求出圓錐的側面積，再求出底面圓的面積，即可得出表面積．

【解答】解：∵如圖所示可知，圓錐的高為4，底面圓的直徑為6，

∴圓錐的母線為：5，

∴根據圓錐的側面積公式：πrl=π×3×5=15π，

底面圓的面積為：πr2=9π，

∴該幾何體的表面積為24π．

故答案為：24π．

三、解答題：19、20各6分，21、22各8分，23、24各9分，25、26各10分．

19．計算：（﹣1）2015+|﹣2|+tan30°+．

【考點】實數的運算；特殊角的三角函數值．

【分析】原式第一項利用乘方的意義計算，第二項利用絕對值的代數意義化簡，第三項利用特殊角的三角函數值計算，最后一項分母有理化，計算即可得到結果．

【解答】解：原式=﹣1+2﹣++=1．

20．解分式方程： +=﹣1．

【考點】解分式方程．

【分析】解分式方程一定注意要驗根．分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：﹣（x+2）2+16=4﹣x2，

去括號得：﹣x2﹣4x﹣4+16=4﹣x2，

解得：x=2，

經檢驗x=2是增根，分式方程無解．

21．在一個不透明的口袋中裝有4張相同的紙牌，它們分別標有數字1，2，3，4．隨機地摸取出一張紙牌然后放回，再隨機摸取出一張紙牌，（1）計算兩次摸取紙牌上數字之和為5的概率；

（2）甲、乙兩個人進行游戲，如果兩次摸出紙牌上數字之和為奇數，則甲勝；如果兩次摸出紙牌上數字之和為偶數，則乙勝．這是個公平的游戲嗎？請說明理由．

【考點】游戲公平性；列表法與樹狀圖法．

【分析】（1）先列表展示所有可能的結果數為16，再找出兩次摸取紙牌上數字之和為5的結果數，然后根據概率的概念計算即可；

（2）從表中找出兩次摸出紙牌上數字之和為奇數的結果數和兩次摸出紙牌上數字之和為偶數的結果數，分別計算這兩個事件的概率，然后判斷游戲的公平性．

【解答】解：根據題意，列表如下：

由上表可以看出，摸取一張紙牌然后放回，再隨機摸取出紙牌，可能結果有16種，它們出現的可能性相等．

（1）兩次摸取紙牌上數字之和為5（記為事件A）有4個，P（A）==；

（2）這個游戲公平，理由如下：

∵兩次摸出紙牌上數字之和為奇數（記為事件B）有8個，P（B）==，

兩次摸出紙牌上數字之和為偶數（記為事件C）有8個，P（C）==，

∴兩次摸出紙牌上數字之和為奇數和為偶數的概率相同，所以這個游戲公平．

22．在矩形ABCD中，點E是BC上一點，AE=AD，DF⊥AE，垂足為F．

（1）求證：EF=EC；

（2）若AD=2AB，求∠FDC．

【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質．

【分析】（1）由矩形的性質得出∠B=∠ADC=90°，AD=BC，AD∥BC，得出∠AEB=∠DAF，由AAS證明△ABE≌△DFA，得出BE=AF，即可得出結論；

（2）先證出∠AEB=30°，再由角的互余關系即可求出∠FDC的度數．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠ADC=90°，AD=BC，AD∥BC，

∴∠AEB=∠DAF，

∵DF⊥AE，

∴∠AFD=90°，

在△ABE和△DFA中，

，

∴△ABE≌△DFA（AAS），

∴BE=AF，

∵AE=AD，

∴AE=BC，

∴AE﹣AF=BC﹣BE，

即EF=EC；

（2）解：∵AD=2AB，

∴AE=2AB，

∴∠AEB=30°，

∴∠DAF=30°，

∴∠ADF=60°，

∴∠FDC=90°﹣60°=30°．

23．某公司銷售一種進價為20元/個的計算器，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化如下表：

同時，銷售過程中的其他開支（不含進價）總計40萬元．

（1）觀察并分析表中的y與x之間的對應關系，用所學過的一次函數，反比例函數或二次函數的有關知識寫出y（萬個）與x（元/個）的函數解析式．

（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬元）與銷售價格x（元/個）的函數解析式，銷售價格定為多少元時凈得利潤最大，最大值是多少？

（3）該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格x（元/個）的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為多少元？

【考點】二次函數的應用．

【分析】（1）根據數據得出y與x是一次函數關系，進而利用待定系數法求一次函數解析式；

（2）根據z=（x﹣20）y﹣40得出z與x的函數關系式，求出即可；

（3）首先求出40=﹣（x﹣50）2+50時x的值，進而得出x（元/個）的取值范圍．

【解答】解：（1）根據表格中數據可得出：y與x是一次函數關系，

設解析式為：y=ax+b，

則，

解得：，

故函數解析式為：y=﹣x+8；

（2）根據題意得出：

z=（x﹣20）y﹣40

=（x﹣20）（﹣x+8）﹣40

=﹣x2+10x﹣200，

=﹣（x2﹣100x）﹣200

=﹣ [（x﹣50）2﹣2500]﹣200

=﹣（x﹣50）2+50，

故銷售價格定為50元/個時凈得利潤最大，最大值是50萬元．

（3）當公司要求凈得利潤為40萬元時，即﹣（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．

如上圖，通過觀察函數y=﹣（x﹣50）2+50的圖象，可知按照公司要求使凈得利潤不低于40萬元，則銷售價格的取值范圍為：40≤x≤60．

而y與x的函數關系式為：y=﹣x+8，y隨x的增大而減少，

因此，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為40元/個．

24．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥BC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接BE．

（1）求證：BE與⊙O相切；

（2）連接AD并延長交BE于點F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的長．

【考點】切線的判定與性質；相似三角形的判定與性質；解直角三角形．

【分析】（1）連接OC，先證明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，從而可證得結論．

（2）過點D作DH⊥AB，根據sin∠ABC=，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性質得出比例式即可解出BF的長．

【解答】證明：（1）連接OC，

∵OD⊥BC，

∴∠COE=∠BOE，

在△OCE和△OBE中，

∵，

∴△OCE≌△OBE，

∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，

∵OB是⊙O半徑，

∴BE與⊙O相切．

（2）過點D作DH⊥AB，連接AD并延長交BE于點F，

∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，

∴△ODH∽△OBD，

∴==

又∵sin∠ABC=，OB=9，

∴OD=6，

易得∠ABC=∠ODH，

∴sin∠ODH=，即=，

∴OH=4，

∴DH==2，

又∵△ADH∽△AFB，

∴=， =，

∴FB=．

25．閱讀下列材料并解答：

對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，

即：當n為非負整數時，如果n﹣，則＜x＞=n．

如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…

試解決下列問題：

（1）填空：＜π＞=　3　（π為圓周率）；

（2）求滿足＜x＞=x的所有非負實數x的值；

（3）設n為常數，且為正整數，函數y=x2﹣x+的自變量x在n≤x＜n+1范圍內取值時，函數值y為整數的個數記為a；滿足＜＞=n的所有整數k的個數記為b．求證：a=b=2n．

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）π的十分位為1，應該舍去，所以精確到個位是3；

（2）x為整數，設這個整數為k，易得這個整數應在應在k﹣和k+之間，包括k﹣，不包括k+，求得整數k的值即可求得x的非負實數的值；

（3）易得二次函數的對稱軸，那么可求得二次函數的函數值在相應的自變量的范圍內取值，進而求得相應的a的個數；利用所給關系式易得的正整數個數為2n，由此得證．

【解答】（1）解：因為π≈3.14，所以四舍五入后的個位數為3．

故答案是：3；

（2）解：∵x≥0， x為整數，設x=k，k為整數，

則x=k，

∴＜k＞=k，

∴k﹣≤k≤k+，k≥0，

∵O≤k≤2，

∴k=0，1，2，

∴x=0，，．

（3）證明：∵函數y=x2﹣x+=（x﹣）2，n為整數，

當n≤x＜n+1時，y隨x的增大而增大，

∴（n﹣）2≤y＜（n+1﹣）2，即（n﹣）2≤y＜（n+）2，①

∴n2﹣n+≤y＜n2+n+，

∵y為整數，

∴y=n2﹣n+1，n2﹣n+2，n2﹣n+3，…，n2﹣n+2n，共2n個y，

∴a=2n，②

∵k＞0，＜＞=n，

則n﹣≤＜n+，

∴（n﹣）2≤k＜（n+）2，③

比較①，②，③得：a=b=2n．

26．如圖，二次函數y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常數，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸交于C（0，﹣3），點D在二次函數的圖象上，CD∥AB，連接AD，過點A作射線AE交二次函數的圖象于點E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的代數式表示a；

（2）求證：為定值；

（3）設該二次函數圖象的頂點為F，探索：在x軸的負半軸上是否存在點G，連接GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由．

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）由C在二次函數y=a（x2﹣2mx﹣3m2）上，則其橫縱坐標必滿足方程，代入即可得到a與c的關系式．

（2）求證為定值，一般就是計算出AD、AE的值，然后相比．而求其長，過E、D作x軸的垂線段，進而通過設邊長，利用直角三角形性質得方程求解，是求解此類問題的常規思路，如此易得定值．

（3）要使線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且（2）中=，則可考慮若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F點都易固定，且G在x軸的負半軸上，則易得G點大致位置，可連接CF并延長，證明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．

【解答】（1）解：將C（0，﹣3）代入二次函數y=a（x2﹣2mx﹣3m2），

則﹣3=a（0﹣0﹣3m2），

解得 a=．

（2）方法一：

證明：如圖1，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N．

由a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，

解得 x1=﹣m，x2=3m，

則 A（﹣m，0），B（3m，0）．

∵CD∥AB，

∴D點的縱坐標為﹣3，

又∵D點在拋物線上，

∴將D點縱坐標代入拋物線方程得D點的坐標為（2m，﹣3）．

∵AB平分∠DAE，

∴∠DAM=∠EAN，

∵∠DMA=∠ENA=90°，

∴△ADM∽△AEN．

∴==．

設E坐標為（x，），

∴=，

∴x=4m，

∴E（4m，5），

∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，

∴==，即為定值．

方法二：

過點D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N，

∵a（x2﹣2mx﹣3m2）=0，

∴x1=﹣m，x2=3m，

則A（﹣m，0），B（3m，0），

∵CD∥AB，∴D點的縱坐標為﹣3，∴D（2m，﹣3），

∵AB平分∠DAE，∴KAD+KAE=0，

∵A（﹣m，0），D（2m，﹣3），

∴KAD==﹣，∴KAE=，

∴?x2﹣3mx﹣4m2=0，

∴x1=﹣m（舍），x2=4m，∴E（4m，5），

∵∠DAM=∠EAN=90°

∴△ADM∽△AEN，

∴，

∵DM=3，EN=5，

∴．

（3）解：如圖2，記二次函數圖象頂點為F，則F的坐標為（m，﹣4），過點F作FH⊥x軸于點H．

連接FC并延長，與x軸負半軸交于一點，此點即為所求的點G．

∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，

∴=，

∴，

∵OC=3，HF=4，OH=m，

∴OG=3m．

∵GF===4，

? AD===3，

∴=．

∵=，

∴AD：GF：AE=3：4：5，

∴以線段GF，AD，AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，此時G點的橫坐標為﹣3m．

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