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2016遼陽市遼陽縣中考數(shù)學一模試卷
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.﹣的絕對值是( )
A.﹣2016????????????? B.????????????? C.﹣
????????????? D.2016
2.下面的計算正確的是( )
A.3x2?4x2=12x2????????????? B.x3?x5=x15????????????? C.x4÷x=x3????????????? D.(x5)2=x7
3.太陽的溫度很高,其表面溫度大概有6 000℃,而太陽中心的溫度達到了19 200 000℃,用科學記數(shù)法可將19 200 000表示為( )
A.1.92×106????????????? B.1.92×107????????????? C.1.92×108????????????? D.1.92×109
4.(2016遼陽數(shù)學)如圖,已知BD∥AC,∠1=65°,∠A=40°,則∠2的大小是( )
A.55°????????????? B.65°????????????? C.75°????????????? D.85°
5.一個幾何體的三視圖如圖所示,那么這個幾何體的側面積是( )
A.4π????????????? B.6π????????????? C.8π????????????? D.12π
6.(2016遼陽數(shù)學)如圖,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,將△ABC繞點 A逆時針旋轉75°,得到△AB′C′,過點B′作B′D⊥CA,交CA的延長線于點D,若AC=6,則AD的長為( )
A.2????????????? B.3????????????? C.2????????????? D.3
7.(2016遼陽數(shù)學)若關于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等實數(shù)根,則k的取值范圍是( )
A.k>????????????? B.k≥
????????????? C.k>
且k≠1????????????? D.k≥
且k≠1
8.小明記錄了某市連續(xù)10天的最高氣溫如表:
最高氣溫(℃) | 20 | 22 | 25 | 26 |
天數(shù) | 1 | 3 | 2 | 4 |
那么關于這10天的最高氣溫的說法正確的是( )
A.中位數(shù)23.5????????????? B.眾數(shù)22????????????? C.方差46????????????? D.平均數(shù)24
9.商場舉行摸獎促銷活動,對于“抽到一等獎的概率為O.1”.下列說法正確的是( )
A.抽10次獎必有一次抽到一等獎
B.抽一次不可能抽到一等獎
C.抽10次也可能沒有抽到一等獎
D.抽了9次如果沒有抽到一等獎,那么再抽一次肯定抽到一等獎
10.如圖,已知點A(4,0),O為坐標原點,P是線段OA上任意一點(不含端點O,A),過P、O兩點的二次函數(shù)y1和過P、A兩點的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下,它們的頂點分別為B、C,射線OB與射線AC相交于點D.當△ODA是等邊三角形時,這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于( )
A.????????????? B.
????????????? C.2
????????????? D.
二、(2016遼陽數(shù)學)填空題(每小題3分,共24分)
11.把多項式2a3﹣8a分解因式的結果是 .
12.使有意義的x的取值范圍是 .
13.在一個不透明的口袋中,有四個完全相同的小球,把它們分別標號為1、2、3、4,隨機地摸取一個小球記下標號后放回,再隨機地摸取一個小球記下標號,則兩次摸取的小球標號都是1的概率為 .
14.如圖,在矩形ABCD中,AB=2DA,以點A為圓心,AB為半徑的圓弧交DC于點E,交AD的延長線于點F,設DA=2,圖中陰影部分的面積為 .
15.(2016遼陽數(shù)學)在江岸區(qū)創(chuàng)建文明城區(qū)的活動中,有兩段長度相等的彩色磚道鋪設任務,分別交給甲、乙兩個施工隊同時進行施工.如圖是反映所鋪設彩色磚道的長度y(米)與施工時間x(時)之間關系的部分圖象.如果甲隊施工速度不變,乙隊在開挖6小時后,施工速度增加到12米/時,結果兩隊同時完成了任務,則甲隊從開始施工到完工所鋪設的彩色道磚的長度為 米.
16.如圖,BC是⊙O弦,D是BC上一點,DO交⊙O于點A,連接AB、OC,若∠A=20°,∠C=30°,則∠AOC的度數(shù)為 .
17.(2016遼陽數(shù)學)如圖,在平面直角坐標系中,Rt△ABO的頂點O與原點重合,頂點B在x軸上,∠ABO=90°,OA與反比例函數(shù)y=的圖象交于點D,且OD=2AD,過點D作x軸的垂線交x軸于點C.若S四邊形ABCD=10,則k的值為 .
18.如圖,n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,設△B2D1C1的面積為S1,△B3D2C2的面積為S2,…,△Bn+1DnCn的面積為Sn,則S2= ;Sn= .(用含n的式子表示)
三、(2016遼陽數(shù)學)解答題(第19題10分,第20題12分,共22分)
19.先化簡,后求值:,其中x=3.
20.為了貫徹“減負增效”精神,掌握2014~2015學年度九年級600名學生每天的自主學習情況,某校學生會隨機抽查了2014~2015學年度九年級的部分學生,并調查他們每天自主學習的時間.根據(jù)調查結果,制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖(圖1,圖2),請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題:
(1)本次調查的學生人數(shù)是 人;
(2)圖2中α是 度,并將圖1條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)請估算該校2014~2015學年度九年級學生自主學習時間不少于1.5小時有 人;
(4)老師想從學習效果較好的4位同學(分別記為A,B,C,D,其中A為小亮)隨機選擇兩位進行學習經(jīng)驗交流,用列表法或樹狀圖的方法求出選中小亮A的概率.
四、(2016遼陽數(shù)學)解答題(每題12分,共24分)
21.如圖,己知點A(1,)在反比例函數(shù)y=
(x>0)的圖象上,連接OA,將線段OA繞點D順時針方向旋轉30°,得到線段OB.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)判斷點B是否在反比例函數(shù)圖象上,并說明理由;
(3)設直線AB的解析式為y=ax+b,請直接寫出不等式ax+b﹣<0的解集.
22.某超市用3000元購進某種干果,由于銷售狀況良好,超市又用9000元第二次購進該干果,但第二次的進價比第一次的提高了20%,第二次購進干果數(shù)量是第一次的2倍還多300千克.
(1)求該干果的第一次進價是每千克多少元?
(2)百姓超市按每千克9元的價格出售,當大部分干果售出后,余下的按售價的8折售完,若兩次銷售這種干果的利潤不少于5820元,則最多余下多少千克干果按售價的8折銷售.
五、(2016遼陽數(shù)學)解答題
23.如圖,某風景區(qū)的湖心島有一涼亭A,其正東方向有一棵大樹B,小明想測量A、B之間的距離,他從湖邊的C處測得A在北偏西45°方向上,測得B在北偏東32°方向上,且量得B、C之間的距離為100米,根據(jù)上述測量結果,請你幫小明計算A、B之間的距離是多少?(精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin32°=0.5299,cos32°=0.8480)
六(2016遼陽數(shù)學)、解答題
24.如圖,AB為⊙O的直徑,P是BA延長線上一點,PC切⊙O于點C,CG是⊙O的弦,CG⊥AB,垂足為D.
(1)求證:∠PCA=∠ABC;
(2)過點A作AE∥PC,交⊙O于點E,交CD于點F,連接BE.若sin∠P=,CF=5,求BE的長.
七、解答題
25.已知:正方形ABCD的邊長為4,點E為BC的中點,點P為AB上一動點,沿PE翻折△BPE得到△FPE,直線PF交CD邊于點Q,交直線AD于點G,聯(lián)接EQ.
(1)如圖,當BP=1.5時,求CQ的長;
(2)如圖,當點G在射線AD上時,BP=x,DG=y,求y關于x的函數(shù)關系式,并寫出x的取值范圍;
(3)延長EF交直線AD于點H,若△CQE與△FHG相似,求BP的長.
八(2016遼陽數(shù)學)解答題
26.在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=﹣+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),交y軸的正半軸于點C,其頂點為M,MH⊥x軸于點H,MA交y軸于點N,sin∠MOH=
.
(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;
(2)過H的直線與y軸相交于點P,過O,M兩點作直線PH的垂線,垂足分別為E,F(xiàn),若=
時,求點P的坐標;
(3)將(1)中的拋物線沿y軸折疊,使點A落在點D處,連接MD,Q為(1)中的拋物線上的一動點,直線NQ交x軸于點G,當Q點在拋物線上運動時,是否存在點Q,使△ANG與△ADM相似?若存在,求出所有符合條件的直線QG的解析式;若不存在,請說明理由.
2016遼陽數(shù)學參考答案與試題解析
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1.﹣的絕對值是( )
A.﹣2016????????????? B.????????????? C.﹣
????????????? D.2016
【考點】絕對值.
【分析】根據(jù)相反數(shù)的意義,求解即可.注意正數(shù)的絕對值是本身,0的絕對值為0,負數(shù)的絕對值是其相反數(shù).
【解答】解:∵﹣的絕對值等于其相反數(shù),
∴﹣的絕對值是
.
故選B
2.(2016遼陽數(shù)學)下面的計算正確的是( )
A.3x2?4x2=12x2????????????? B.x3?x5=x15????????????? C.x4÷x=x3????????????? D.(x5)2=x7
【考點】同底數(shù)冪的除法;同底數(shù)冪的乘法;冪的乘方與積的乘方;單項式乘單項式.
【分析】根據(jù)單項式的乘法、同底數(shù)冪的乘法和除法、冪的乘方等知識點進行判斷.
【解答】解:A、3x2?4x2=12x4,故本選項錯誤;
B、x3?x5=x8,故本選項錯誤;
C、正確;
D、(x5)2=x10,故本選項錯誤.
故選C.
3.太陽的溫度很高,其表面溫度大概有6 000℃,而太陽中心的溫度達到了19 200 000℃,用科學記數(shù)法可將19 200 000表示為( )
A.1.92×106????????????? B.1.92×107????????????? C.1.92×108????????????? D.1.92×109
【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).確定n的值時,要看把原數(shù)變成a時,小數(shù)點移動了多少位,n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>1時,n是正數(shù);當原數(shù)的絕對值<1時,n是負數(shù).
【解答】解:將19 200 000用科學記數(shù)法表示為:1.92×107.
故選:B.
4.(2016遼陽數(shù)學)如圖,已知BD∥AC,∠1=65°,∠A=40°,則∠2的大小是( )
A.55°????????????? B.65°????????????? C.75°????????????? D.85°
【考點】平行線的性質.
【分析】先根據(jù)平行線的性質求出∠C,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠2的大小即可.
【解答】解:∵BD∥AC,∠1=65°,
∴∠C=∠1=65°,
∵∠A=40°,
∴∠2=180°﹣∠A﹣∠C=75°,
故選C.
5.一個幾何體的三視圖如圖所示,那么這個幾何體的側面積是( )
A.4π????????????? B.6π????????????? C.8π????????????? D.12π
【考點】(2016遼陽數(shù)學)由三視圖判斷幾何體.
【分析】根據(jù)三視圖正視圖以及左視圖都為矩形,底面是圓形,則可想象出這是一個圓柱體.側面積=底面周長×高.
【解答】解:∵圓柱的直徑為2,高為3,
∴側面積為2××2×3π=6π.
故選B.
6.如圖,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,將△ABC繞點 A逆時針旋轉75°,得到△AB′C′,過點B′作B′D⊥CA,交CA的延長線于點D,若AC=6,則AD的長為( )
A.2????????????? B.3????????????? C.2????????????? D.3
【考點】旋轉的性質.
【分析】在直角△ABC中利用勾股定理即可求得AB的長,則AB′的長即可求得,然后根據(jù)旋轉角的定義利用角的和差求得∠B′AD的度數(shù),在直角△B′AD中利用三角函數(shù)即可求解.
【解答】(2016遼陽數(shù)學)解:在直角△ABC中,AB==
=6
,
則AB'=AB=6.
在直角△B'AD中,∠B′AD=180°﹣∠BAC﹣∠BAB′=180°﹣45°﹣75°=60°.
則AD=AB′?cos∠B′AD=6×
=3
.
故選D.
7.若關于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等實數(shù)根,則k的取值范圍是( )
A.k>????????????? B.k≥
????????????? C.k>
且k≠1????????????? D.k≥
且k≠1
【考點】根的判別式;一元二次方程的定義.
【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=22﹣4(k﹣1)×(﹣2)>0,然后解不等式即可.
【解答】解:∵關于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有不相等實數(shù)根,
∴△=22﹣4(k﹣1)×(﹣2)>0,
解得k>;且k﹣1≠0,即k≠1.
故選:C.
8.(2016遼陽數(shù)學)小明記錄了某市連續(xù)10天的最高氣溫如表:
最高氣溫(℃) | 20 | 22 | 25 | 26 |
天數(shù) | 1 | 3 | 2 | 4 |
那么關于這10天的最高氣溫的說法正確的是( )
A.中位數(shù)23.5????????????? B.眾數(shù)22????????????? C.方差46????????????? D.平均數(shù)24
【考點】方差;加權平均數(shù);中位數(shù);眾數(shù).
【分析】利用方差的計算公式、加權平均數(shù)的計算公式、中位數(shù)及眾數(shù)的定義分別求解后即可確定正確的選項.
【解答】解:A、排序后位于中間位置的兩數(shù)為25,25,故中位數(shù)為25,故錯誤;
B、數(shù)據(jù)26出現(xiàn)了4次,最多,故眾數(shù)為26,故錯誤;
平均數(shù)為(20+22×3+25×2+26×4)=24,
方差為 [(20﹣24)2+3×(22﹣24)2+2×(25﹣24)2+4×(26﹣24)2]=44,故錯誤;
故D正確,
故選D.
9.商場舉行摸獎促銷活動,對于“抽到一等獎的概率為O.1”.下列說法正確的是( )
A.抽10次獎必有一次抽到一等獎
B.抽一次不可能抽到一等獎
C.抽10次也可能沒有抽到一等獎
D.抽了9次如果沒有抽到一等獎,那么再抽一次肯定抽到一等獎
【考點】(2016遼陽數(shù)學)概率的意義.
【分析】根據(jù)概率是頻率(多個)的波動穩(wěn)定值,是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)進行解答即可.
【解答】解:根據(jù)概率的意義可得“抽到一等獎的概率為O.1”就是說抽10次可能抽到一等獎,也可能沒有抽到一等獎,
故選:C.
10.如圖,已知點A(4,0),O為坐標原點,P是線段OA上任意一點(不含端點O,A),過P、O兩點的二次函數(shù)y1和過P、A兩點的二次函數(shù)y2的圖象開口均向下,它們的頂點分別為B、C,射線OB與射線AC相交于點D.當△ODA是等邊三角形時,這兩個二次函數(shù)的最大值之和等于( )
A.????????????? B.
????????????? C.2
????????????? D.
【考點】(2016遼陽數(shù)學)二次函數(shù)的最值;等邊三角形的性質.
【分析】連接PB、PC,根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知OB=PB,PC=AC,從而判斷出△POB和△ACP是等邊三角形,再根據(jù)等邊三角形的性質求解即可.
【解答】解:如圖,連接PB、PC,
由二次函數(shù)的性質,OB=PB,PC=AC,
∵△ODA是等邊三角形,
∴∠AOD=∠OAD=60°,
∴△POB和△ACP是等邊三角形,
∵A(4,0),
∴OA=4,
∴點B、C的縱坐標之和為4×=2
,
即兩個二次函數(shù)的最大值之和等于2.
故選C.
二、(2016遼陽數(shù)學)填空題(每小題3分,共24分)
11.把多項式2a3﹣8a分解因式的結果是 2a(a+2)(a﹣2) .
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【分析】首先提取公因式進而利用平方差公式法分解因式得出即可.
【解答】解:2a3﹣8a=2a(a2﹣4)=2a(a+2)(a﹣2).
故答案為:2a(a+2)(a﹣2).
12.使有意義的x的取值范圍是 x≥2 .
【考點】二次根式有意義的條件.
【分析】當被開方數(shù)x﹣2為非負數(shù)時,二次根式才有意義,列不等式求解.
【解答】解:根據(jù)二次根式的意義,得
x﹣2≥0,解得x≥2.
13.(2016遼陽數(shù)學)在一個不透明的口袋中,有四個完全相同的小球,把它們分別標號為1、2、3、4,隨機地摸取一個小球記下標號后放回,再隨機地摸取一個小球記下標號,則兩次摸取的小球標號都是1的概率為 .
【考點】列表法與樹狀圖法.
【分析】列表得出所有等可能的情況數(shù),找出兩次摸取的小球標號都是1的情況數(shù),即可求出所求的概率.
【解答】解:列表如下:
| 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | (1,1) | (2,1) | (3,1) | (4,1) |
2 | (1,2) | (2,2) | (3,2) | (4,2) |
3 | (1,3) | (2,3) | (3,3) | (4,3) |
4 | (1,4) | (2,4) | (3,4) | (4,4) |
所有等可能的情況有16種,其中兩次摸取的小球標號都是1的情況有1種,
則P=.
故答案為:
14.如圖,在矩形ABCD中,AB=2DA,以點A為圓心,AB為半徑的圓弧交DC于點E,交AD的延長線于點F,設DA=2,圖中陰影部分的面積為 π﹣2
.
【考點】矩形的性質;扇形面積的計算.
【分析】(2016遼陽數(shù)學)根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得∠AED=30°,然后求出DE,再根據(jù)陰影部分的面積=S扇形AEF﹣S△ADE列式計算即可得解.
【解答】解:∵AB=2DA,AB=AE(扇形的半徑),
∴AE=2DA=2×2=4,
∴∠AED=30°,
∴∠DAE=90°﹣30°=60°,
DE==
=2
,
∴陰影部分的面積=S扇形AEF﹣S△ADE,
=﹣
×2×2
,
=π﹣2
.
故答案為:π﹣2
.
15.在江岸區(qū)創(chuàng)建文明城區(qū)的活動中,有兩段長度相等的彩色磚道鋪設任務,分別交給甲、乙兩個施工隊同時進行施工.如圖是反映所鋪設彩色磚道的長度y(米)與施工時間x(時)之間關系的部分圖象.如果甲隊施工速度不變,乙隊在開挖6小時后,施工速度增加到12米/時,結果兩隊同時完成了任務,則甲隊從開始施工到完工所鋪設的彩色道磚的長度為 110 米.
【考點】(2016遼陽數(shù)學)一次函數(shù)的應用.
【分析】(1)設函數(shù)關系是為y=kx+b,然后利用待定系數(shù)法求解即可;
(2)先求出甲隊的速度,然后設甲隊從開始到完工所鋪設彩色磚道的長度為z米,再根據(jù)6小時后兩隊所用的時間相等列方程求解即可.
【解答】解:(1)設乙隊在2≤x≤6的時段內(nèi)y與x之間的函數(shù)關系式為y=kx+b,
由圖可知,函數(shù)圖象過點(2,30),(6,50),
,
解得.
∴y=5x+20;
(2)由圖可知,甲隊速度是:60÷6=10(米/時),
設甲隊從開始到完工所鋪設彩色道磚的長度為z米,
依題意得,
解得z=110.
答:甲隊從開始到完工所鋪設彩色道磚的長度為110米.
16.如圖,BC是⊙O弦,D是BC上一點,DO交⊙O于點A,連接AB、OC,若∠A=20°,∠C=30°,則∠AOC的度數(shù)為 100° .
【考點】(2016遼陽數(shù)學)圓周角定理.
【分析】設∠AOC=x°,根據(jù)圓周角定理得到∠B的度數(shù),根據(jù)三角形的外角的性質列出方程,解方程得到答案.
【解答】解:設∠AOC=x°,則∠B=x°,
∵∠AOC=∠ODC+∠C,∠ODC=∠B+∠A,
∴x=20°+30°+x,
解得x=100°.
故答案為:100°.
17.如圖,在平面直角坐標系中,Rt△ABO的頂點O與原點重合,頂點B在x軸上,∠ABO=90°,OA與反比例函數(shù)y=的圖象交于點D,且OD=2AD,過點D作x軸的垂線交x軸于點C.若S四邊形ABCD=10,則k的值為 ﹣16 .
【考點】相似三角形的判定與性質;反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【分析】(2016遼陽數(shù)學)證△DCO∽△ABO,推出=
=
=
,求出
=(
)2=
,求出S△ODC=8,根據(jù)三角形面積公式得出
OC×CD=8,求出OC×CD=16即可.
【解答】解:∵OD=2AD,
∴=
,
∵∠ABO=90°,DC⊥OB,
∴AB∥DC,
∴△DCO∽△ABO,
∴=
=
=
,
∴=(
)2=
,
∵S四邊形ABCD=10,
∴S△ODC=8,
∴OC×CD=8,
OC×CD=16,
∵雙曲線在第二象限,
∴k=﹣16,
故答案為:﹣16.
18.(2016遼陽數(shù)學)如圖,n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,設△B2D1C1的面積為S1,△B3D2C2的面積為S2,…,△Bn+1DnCn的面積為Sn,則S2= ;Sn=
.(用含n的式子表示)
【考點】相似三角形的判定與性質;等邊三角形的性質.
【分析】由三角形的相似性可求得S2、S3、S4的值,則Sn的值也可用含n的式子表示出來.
【解答】(2016遼陽數(shù)學)解:由于各三角形為等邊三角形,且各邊長為2,過各三角形的頂點B1、B2、B3…向對邊作垂線,垂足為M1、M2、M3,
∵△AB1C1是等邊三角形,
∴AD1=AC1?sin60°=2×=
,
∵△B1C1B2也是等邊三角形,
∴C1B1是∠AC1B2的角平分線,
∴AD1=B2D1=,
故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×
﹣
×2×
=
;
S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×
﹣
×4×
=2
﹣
=
;
作AB∥B1C1,使AB=AB1,連接BB1,則B2,B3,…Bn在一條直線上.
∵Bn Cn∥AB,
∴=
=
,
∴BnDn=?AB=
,
則DnCn=2﹣BnDn=2﹣=
.
△BnCnBn+1是邊長是2的等邊三角形,因而面積是:.
△Bn+1DnCn面積為Sn=?
=
?
=
.
即第n個圖形的面積Sn=.
三、解答題(第19題10分,第20題12分,共22分)
19.先化簡,后求值:,其中x=3.
【考點】分式的化簡求值.
【分析】首先將括號里面通分,能分解因式的分解因式,進而化簡后求值得出.
【解答】解:,
=(+
)×
=×
=,
當x=3時,原式==
.
20.(2016遼陽數(shù)學)為了貫徹“減負增效”精神,掌握2014~2015學年度九年級600名學生每天的自主學習情況,某校學生會隨機抽查了2014~2015學年度九年級的部分學生,并調查他們每天自主學習的時間.根據(jù)調查結果,制作了兩幅不完整的統(tǒng)計圖(圖1,圖2),請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息回答下列問題:
(1)本次調查的學生人數(shù)是 40 人;
(2)圖2中α是 54 度,并將圖1條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)請估算該校2014~2015學年度九年級學生自主學習時間不少于1.5小時有 330 人;
(4)老師想從學習效果較好的4位同學(分別記為A,B,C,D,其中A為小亮)隨機選擇兩位進行學習經(jīng)驗交流,用列表法或樹狀圖的方法求出選中小亮A的概率.
【考點】列表法與樹狀圖法;用樣本估計總體;扇形統(tǒng)計圖;條形統(tǒng)計圖.
【分析】(2016遼陽數(shù)學)(1)由自主學習的時間是1小時的有12人,占30%,即可求得本次調查的學生人數(shù);
(2)由×360°=54°,40×35%=14;即可求得答案;
(3)首先求得這40名學生自主學習時間不少于1.5小時的百分比,然后可求得該校九年級學生自主學習時間不少于1.5小時的人數(shù);
(4)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與選中小亮A的情況,再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:(1)∵自主學習的時間是1小時的有12人,占30%,
∴12÷30%=40,
故答案為:40;
(2)×360°=54°,
40×35%=14;補充圖形如圖:
,
故答案為:54;
(3)600×=330,
故答案為:330;
(4)畫樹狀圖得:
∵共有12種等可能的結果,選中小亮A的有6種,
∴P(A)==
.
四、(2016遼陽數(shù)學)解答題(每題12分,共24分)
21.如圖,己知點A(1,)在反比例函數(shù)y=
(x>0)的圖象上,連接OA,將線段OA繞點D順時針方向旋轉30°,得到線段OB.
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)判斷點B是否在反比例函數(shù)圖象上,并說明理由;
(3)設直線AB的解析式為y=ax+b,請直接寫出不等式ax+b﹣<0的解集.
【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
【分析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可計算出k=,于是得到反比例函數(shù)解析式為y=
;
(2)作AE⊥y軸于E,BF⊥x軸于F,如圖,在Rt△OAE中根據(jù)正切定義得到tan∠AOE=,則∠AOE=30°,所以OA=2AE=2,再根據(jù)旋轉的性質得∠AOB=30°,OB=OA=2,于是可計算出∠BOF=30°,接著在Rt△BOF中,利用含30度的直角三角形三邊的關系得BF=
OB=1,OF=
BF=
,則B(
,1),然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征判斷點B(
,1)是否在反比例函數(shù)y=
的圖象上;
(2)觀察函數(shù)圖象,寫出反比例函數(shù)圖象在直線AB上方所對應的自變量的范圍即可.
【解答】(2016遼陽數(shù)學)解:(1)∵點A(1,)在反比例函數(shù)y=
(x>0)的圖象上,
∴k=1×=
,
∴反比例函數(shù)解析式為y=;
(2)點B在反比例函數(shù)圖象上.理由如下:
作AE⊥y軸于E,BF⊥x軸于F,如圖,
在Rt△OAE中,∵AE=1,OE=,
∴tan∠AOE==
,
∴∠AOE=30°,OA=2AE=2,
∵線段OA繞點O順時針方向旋轉30°,得到線段OB,
∴∠AOB=30°,OB=OA=2,
∴∠BOF=30°,
在Rt△BOF中,BF=OB=1,
OF=BF=
,
∴B(,1),
∵當x=時,y=
=1,
∴點B(,1)在反比例函數(shù)y=
的圖象上;
(2)0<x<1或x>.
22.(2016遼陽數(shù)學)某超市用3000元購進某種干果,由于銷售狀況良好,超市又用9000元第二次購進該干果,但第二次的進價比第一次的提高了20%,第二次購進干果數(shù)量是第一次的2倍還多300千克.
(1)求該干果的第一次進價是每千克多少元?
(2)百姓超市按每千克9元的價格出售,當大部分干果售出后,余下的按售價的8折售完,若兩次銷售這種干果的利潤不少于5820元,則最多余下多少千克干果按售價的8折銷售.
【考點】分式方程的應用;一元一次不等式的應用.
【分析】(1)設該種干果的第一次進價是每千克x元,則第二次進價是每千克(1+20%)x元.根據(jù)第二次購進干果數(shù)量是第一次的2倍還多300千克,列出方程,解方程即可求解.
(2)根據(jù)利潤=售價﹣進價列出不等式并解答.
【解答】解:(1)設該種干果的第一次進價是每千克x元,則第二次進價是每千克(1+20%)x元,
由題意,得=2×
+300,
解得x=5,
經(jīng)檢驗x=5是方程的解.
答:該種干果的第一次進價是每千克5元.
(2)設當大部分干果售出后,余下a千克按售價的8折售完,
由題意得:[+
﹣a]×9+9×80%a﹣≥5820,
解得a≤600.
答:當大部分干果售出后,余下的按售價的8折售完,若兩次銷售這種干果的利潤不少于5820元,則最多余下600千克干果按售價的8折銷售.
五、(2016遼陽數(shù)學)解答題
23.如圖,某風景區(qū)的湖心島有一涼亭A,其正東方向有一棵大樹B,小明想測量A、B之間的距離,他從湖邊的C處測得A在北偏西45°方向上,測得B在北偏東32°方向上,且量得B、C之間的距離為100米,根據(jù)上述測量結果,請你幫小明計算A、B之間的距離是多少?(精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin32°=0.5299,cos32°=0.8480)
【考點】解直角三角形的應用-方向角問題.
【分析】本題可通過構建直角三角形來解答,過點C作AB的垂線交AB于D,CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角邊,要先求出CD的值然后再求AD,BD的值,進而得出AB的長.
【解答】(2016遼陽數(shù)學)解:過點C作AB的垂線交AB于D,
∵B點在A點的正東方向上,
∴∠ACD=45°,∠DCB=32°,
在Rt△BCD中,BC=100,
∴DB=BCsin32°≈1000.5299=52.99(米),
CD=BCcos32°≈1000.8480=84.80(米),
在Rt△ACD中,AD=CD,
∴AB=AD+DB≈84.80+52.99=137.79(米)≈138(米).
六、(2016遼陽數(shù)學)解答題
24.如圖,AB為⊙O的直徑,P是BA延長線上一點,PC切⊙O于點C,CG是⊙O的弦,CG⊥AB,垂足為D.
(1)求證:∠PCA=∠ABC;
(2)過點A作AE∥PC,交⊙O于點E,交CD于點F,連接BE.若sin∠P=,CF=5,求BE的長.
【考點】切線的性質;勾股定理;解直角三角形.
【分析】(1)連接OC,由PC切⊙O于點C,得到OC⊥PC,于是得到∠PCA+∠OCA=90°,由AB為⊙O的直徑,得到∠ABC+∠OAC=90°,由于OC=OA,證得∠OCA=∠OAC,于是得到結論;
(2)由AE∥PC,得到∠PCA=∠CAF根據(jù)垂徑定理得到,于是得到∠ACF=∠ABC,由于∠PCA=∠ABC,推出∠ACF=∠CAF,根據(jù)等腰三角形的性質得到CF=AF,在Rt△AFD中,AF=5,sin∠FAD=
,求得FD=3,AD=4,CD=8,在Rt△OCD中,設OC=r,根據(jù)勾股定理得到方程r2=(r﹣4)2+82,解得r=10,得到AB=2r=20,由于AB為⊙O的直徑,得到∠AEB=90°,在Rt△ABE中,由sin∠EAD=
,得到
于是求得結論.
【解答】(2016遼陽數(shù)學)(1)證明:連接OC,
∵PC切⊙O于點C,
∴OC⊥PC,
∴∠PCO=90°,
∴∠PCA+∠OCA=90°,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠OAC=90°,
∵OC=OA,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠PCA=∠ABC;
(2)解:∵AE∥PC,
∴∠PCA=∠CAF,
∵AB⊥CG,
∴,
∴∠ACF=∠ABC,
∵∠PCA=∠ABC,
∴∠ACF=∠CAF,
∴CF=AF,
∵CF=5,
∴AF=5,
∵AE∥PC,
∴∠FAD=∠P,
∵sin∠P=,
∴sin∠FAD=,
在Rt△AFD中,AF=5,sin∠FAD=,
∴FD=3,AD=4,∴CD=8,
在Rt△OCD中,設OC=r,
∴r2=(r﹣4)2+82,
∴r=10,
∴AB=2r=20,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠AEB=90°,在Rt△ABE中,
∵sin∠EAD=,∴
,
∵AB=20,
∴BE=12.
七、(2016遼陽數(shù)學)解答題
25.已知:正方形ABCD的邊長為4,點E為BC的中點,點P為AB上一動點,沿PE翻折△BPE得到△FPE,直線PF交CD邊于點Q,交直線AD于點G,聯(lián)接EQ.
(1)如圖,當BP=1.5時,求CQ的長;
(2)如圖,當點G在射線AD上時,BP=x,DG=y,求y關于x的函數(shù)關系式,并寫出x的取值范圍;
(3)延長EF交直線AD于點H,若△CQE與△FHG相似,求BP的長.
【考點】相似形綜合題.
【分析】(1)首先確定∠PEQ=90°,即PE⊥EQ,然后利用△PBE∽△ECQ,列出比例式求出CD的長度;
(2)根據(jù)△PBE∽△ECQ,求出DQ的表達式;由QD∥AP,列出比例式求解;
(3)本問分兩種情形,需要分類討論,避免漏解.
【解答】(2016遼陽數(shù)學)解:(1)由翻折性質,可知PE為∠BPQ的角平分線,且BE=FE.
∵點E為BC中點,
∴EC=EB=EF,
∴QE為∠CQP的角平分線.
∵AB∥CD,
∴∠BPQ+∠CQP=180°,即2∠EPQ+2∠EQP=180°,
∴∠EPQ+∠EQP=90°,
∴∠PEQ=90°,即PE⊥EQ.
易證△PBE∽△ECQ,
∴,即
,
解得:CQ=.
(2)由(1)知△PBE∽△ECQ,
∴,即
,
∴CQ=,∴DQ=4﹣
.
∵QD∥AP,∴,又AP=4﹣x,AG=4+y,
∴,
∴y=(1<x<2).
(3)(2016遼陽數(shù)學)由題意知:∠C=90°=∠GFH.
①當點G在線段AD的延長線上時,如答圖1所示.
由題意知:∠G=∠CQE
∵∠CQE=∠FQE,
∴∠DQG=∠FQC=2∠CQE=2∠G.
∵∠DQG+∠G=90°,
∴∠G=30°,
∴∠BEP=∠CQE=∠G=30°,
∴BP=BE?tan30°=;
②當點G在線段DA的延長線上時,如答圖2所示.
由題意知:∠FHG=∠CQE.
同理可得:∠G=30°,
∴∠BPE=∠G=30°,
∴∠BEP=60°,
∴BP=BE?tan60°=.
綜上所述,BP的長為或
.
八、(2016遼陽數(shù)學)解答題
26.在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=﹣+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),交y軸的正半軸于點C,其頂點為M,MH⊥x軸于點H,MA交y軸于點N,sin∠MOH=
.
(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;
(2)過H的直線與y軸相交于點P,過O,M兩點作直線PH的垂線,垂足分別為E,F(xiàn),若=
時,求點P的坐標;
(3)將(1)中的拋物線沿y軸折疊,使點A落在點D處,連接MD,Q為(1)中的拋物線上的一動點,直線NQ交x軸于點G,當Q點在拋物線上運動時,是否存在點Q,使△ANG與△ADM相似?若存在,求出所有符合條件的直線QG的解析式;若不存在,請說明理由.
【考點】二次函數(shù)綜合題;勾股定理;相似三角形的判定與性質.
【分析】(2016遼陽數(shù)學)(1)由拋物線y=﹣+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),交y軸的正半軸于點C,其頂點為M,MH⊥x軸于點H,MA交y軸于點N,sin∠MOH=
,求出c的值,進而求出拋物線方程;
(2)如圖1,由OE⊥PH,MF⊥PH,MH⊥OH,可證△OEH∽△HFM,可知HE,HF的比例關系,求出P點坐標;
(3)首先求出D點坐標,寫出直線MD的表達式,由兩直線平行,兩三角形相似,可得NG∥MD,直線QG解析式.
【解答】解:(1)∵M為拋物線y=﹣+c的頂點,
∴M(2,c).
∴OH=2,MH=|c|.
∵a<0,且拋物線與x軸有交點,
∴c>0,
∴MH=c,
∵sin∠MOH=,
∴=
.
∴OM=c,
∵OM2=OH2+MH2,
∴MH=c=4,
∴M(2,4),
∴拋物線的函數(shù)表達式為:y=﹣+4.
(2)如圖1,∵OE⊥PH,MF⊥PH,MH⊥OH,
∴∠EHO=∠FMH,∠OEH=∠HFM.
∴△OEH∽△HFM,
∴=
=
,
∵=
,
∴MF=HF,
∴∠OHP=∠FHM=45°,
∴OP=OH=2,
∴P(0,2).
(2016遼陽數(shù)學)如圖2,同理可得,P(0,﹣2).
(3)∵A(﹣1,0),
∴D(1,0),
∵M(2,4),D(1,0),
∴直線MD解析式:y=4x﹣4,
∵ON∥MH,∴△AON∽△AHM,
∴=
=
=
,
∴AN=,ON=
,N(0,
).
如圖3,若△ANG∽△AMD,可得NG∥MD,
∴直線QG解析式:y=4x+,
如圖4,若△ANG∽△ADM,可得=
∴AG=,
∴G(,0),
∴QG:y=﹣x+
,
綜上所述,符合條件的所有直線QG的解析式為:y=4x+或y=﹣
x+
.
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