2018邯鄲市中考數(shù)學壓軸試題【解析版含答案】

2017-12-08 16:56:19文/趙妍妍

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2018邯鄲市中考數(shù)學壓軸試題

一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）

1．拋物線y=2（x﹣3）2+1的頂點坐標是（　　）

A．（3，1）????????????? B．（3，﹣1）????????????? C．（﹣3，1）????????????? D．（﹣3，﹣1）

2．cos30°的值為（　　）

A．1????????????? B．????????????? C．????????????? D．

3．在反比例函數(shù)的每一條曲線上，y都隨著x的增大而減小，則k的值可以是（　　）

A．﹣1????????????? B．1????????????? C．2????????????? D．3

4．如圖，已知D、E分別是△ABC的AB、AC邊上的點，DE∥BC，且S四邊形DBCE=8S△ADE．那么AE：AC的值為（　　）

A．1：8????????????? B．1：4????????????? C．1：3????????????? D．1：9

5．（邯鄲中考數(shù)學）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連接BD，若cos∠BDC=，則BC的長是（　　）

A．4cm????????????? B．6cm????????????? C．8cm????????????? D．10cm

6．如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD=30°，則∠A的度數(shù)為（　　）

A．30°????????????? B．45°????????????? C．60°????????????? D．75°

7．如圖，D是△ABC中AC邊上的一點，根據(jù)下列條件不可推出△BDC∽△ABC的是（　　）

A．∠A=∠DBC????????????? B．∠ABC=∠BDC????????????? C．BC2=AC?DC????????????? D．AB?CD=BC?BD

8．已知α為銳角，則m=sinα+cosα的值（　　）

A．m＞1????????????? B．m=1????????????? C．m＜1????????????? D．m≥1

9．如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及x，那么x的值（　　）

A．只有1個????????????? B．可以有2個????????????? C．可以有3個????????????? D．有無數(shù)個

10．設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx+c，當x≤1時，總有y≥0，當1≤x≤3時，總有y≤0，那么c的取值范圍是（　　）

A．c=3????????????? B．c≥3????????????? C．1≤c≤3????????????? D．c≤3

二、（邯鄲中考數(shù)學）填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）

11．）函數(shù)y=（x﹣1）2+3，當x　　時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．

12．）如果，那么=　　．

13．）如圖將半徑為4米的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為　　米．

14．）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，以下結(jié)論：

①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤當x≠2時，總有4a+2b＞ax2+bx

其中正確的有　　? （填寫正確結(jié)論的序號）．

三、計算題：（共2小題，每小題8分，滿分16分）

15．計算：2﹣2﹣cos60°﹣2sin45°+|1﹣|．

16．二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（4，3），（3，0）．

（1）求b、c的值；

（2）求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸．

四、（共2小題，每小題8分，滿分16分）

17．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標系，請按要求完成下面的問題：

（1）以圖中的點O為位似中心，將△ABC作位似變換且同向放大到原來的兩倍，得到△A1B1C1；

（2）若△ABC內(nèi)一點P的坐標為（a，b），則位似變化后對應(yīng)的點P′的坐標是　　．

18．（邯鄲中考數(shù)學）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，且CD=24，點M在⊙O上，MD經(jīng)過圓心O，聯(lián)結(jié)MB．

（1）若BE=8，求⊙O的半徑；

（2）若∠DMB=∠D，求線段OE的長．

五、（共2小題，每小題10分，滿分20分）

19．某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格出售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．

（1）求平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式．

（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

20．如圖，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，

（1）求證：△AFE∽△ABC；

（2）若∠A=60°時，求△AFE與△ABC面積之比．

六、（本題滿分12分）

21．如圖，定義：若雙曲線y=（k＞0）與它的其中一條對稱軸y=x相交于A、B兩點，則線段AB的長度為雙曲線y=（k＞0）的對徑．

（1）求雙曲線y=的對徑．

（2）仿照上述定義，定義雙曲線y=（k＜0）的對徑，并直接寫出y=﹣的對徑．

（3）若雙曲線y=的對徑是10，求k的值．

七、（邯鄲中考數(shù)學）（本題滿分12分）

22．如圖，某校綜合實踐活動小組的同學欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹正前方一座樓亭前的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處，測得樹頂端D的仰角為60°．已知A點的高度AB為2m，臺階AC的坡度為1：，且B，C，E三點在同一條直線上．請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度（測傾器的高度忽略不計）．

八、（本題滿分14分）

23．從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．

（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．

（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．

（3）如圖2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．

邯鄲中考數(shù)學參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）

1．拋物線y=2（x﹣3）2+1的頂點坐標是（　　）

A．（3，1）????????????? B．（3，﹣1）????????????? C．（﹣3，1）????????????? D．（﹣3，﹣1）

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．

【分析】已知拋物線的頂點式，可直接寫出頂點坐標．

【解答】解：由y=2（x﹣3）2+1，根據(jù)頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為（3，1）．

故選：A．

【點評】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解析式化為頂點式y(tǒng)=a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是x=h．

2．cos30°的值為（　　）

A．1????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】特殊角的三角函數(shù)值．

【專題】計算題．

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接解答即可．

【解答】解：cos30°=．

故選D．

【點評】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，是需要識記的內(nèi)容．

3．在反比例函數(shù)的每一條曲線上，y都隨著x的增大而減小，則k的值可以是（　　）

A．﹣1????????????? B．1????????????? C．2????????????? D．3

【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)．

【分析】利用反比例函數(shù)的增減性，y隨x的增大而減小，則求解不等式1﹣k＞0即可．

【解答】解：∵反比例函數(shù)圖象的每一條曲線上，y隨x的增大而減小，

∴1﹣k＞0，

解得k＜1．

故選A．

【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)的知識點，當k＞0時，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當k＜0時，在每一個象限，y隨x的增大而增大．

4．如圖，已知D、E分別是△ABC的AB、AC邊上的點，DE∥BC，且S四邊形DBCE=8S△ADE．那么AE：AC的值為（　　）

A．1：8????????????? B．1：4????????????? C．1：3????????????? D．1：9

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】由DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，然后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可得，又由S四邊形DBCE=8S△ADE，即可求得S△ADE：S△ABC=1：9，則可求得AE：AC的值．

【解答（邯鄲中考數(shù)學）】解：∵S四邊形DBCE=8S△ADE，

∴S△ABC=9S△ADE，

∴S△ADE：S△ABC=1：9，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=，

∴AE：AC=1：3．

故選C．

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方定理的應(yīng)用．

5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連接BD，若cos∠BDC=，則BC的長是（　　）

A．4cm????????????? B．6cm????????????? C．8cm????????????? D．10cm

【考點】解直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)．

【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出BD=AD，再利用cos∠BDC==，即可求出CD的長，再利用勾股定理求出BC的長．

【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連接BD，

∴BD=AD，

∴CD+BD=8，

∵cos∠BDC==，

∴=，

解得：CD=3，BD=5，

∴BC=4．

故選A．

【點評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及解直角三角形等知識，得出AD=BD，進而用CD表示出BD是解決問題的關(guān)鍵．

6．（邯鄲中考數(shù)學）如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD=30°，則∠A的度數(shù)為（　　）

A．30°????????????? B．45°????????????? C．60°????????????? D．75°

【考點】圓周角定理．

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得∠BCD=90°，可求∠D=60°，即可求∠A=∠D=60°．

【解答】解：∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BCD=90°，

∵∠CBD=30°，

∴∠D=60°，

∴∠A=∠D=60°．

故選C．

【點評】本題重點考查了同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角為直角的知識．

7．如圖，D是△ABC中AC邊上的一點，根據(jù)下列條件不可推出△BDC∽△ABC的是（　　）

A．∠A=∠DBC????????????? B．∠ABC=∠BDC????????????? C．BC2=AC?DC????????????? D．AB?CD=BC?BD

【考點】相似三角形的判定．

【分析】由∠C是公共角，根據(jù)三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用．

【解答】解：∵∠C是公共角，

∴A當∠A=∠DBC時，△BDC∽△ABC；故本選項正確；

當∠ABC=∠BDC時，△BDC∽△ABC；故本選項正確；

C、當BC2=AC?DC，即CD：BC=BC：AC時，△BDC∽△ABC，故本選項正確；

D、當AB?CD=BC?BD，即CD：BC=BD：AB時，不能判定△BDC∽△ABC，故本選項錯誤．

故選D．

【點評】此題考查了相似三角形的判定．此題難度不大，注意熟記定理是關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

8．（邯鄲中考數(shù)學）已知α為銳角，則m=sinα+cosα的值（　　）

A．m＞1????????????? B．m=1????????????? C．m＜1????????????? D．m≥1

【考點】銳角三角函數(shù)的增減性．

【專題】壓軸題．

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，可以用直角三角形的邊進行表示，再進一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行分析．

【解答】解：設(shè)在直角三角形ABC中，∠A=α，∠C=90°，

故sinα=，cosα=；

則m=sinα+cosα=＞1．

故選A．

【點評】此題綜合考查了銳角三角函數(shù)的概念，以及三角形的三邊關(guān)系．

9．如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及x，那么x的值（　　）

A．只有1個????????????? B．可以有2個????????????? C．可以有3個????????????? D．有無數(shù)個

【考點】相似三角形的性質(zhì)；勾股定理．

【專題】分類討論．

【分析】由一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形的邊長分別是3和4及x，可得x可能是斜邊或4是斜邊，繼而求得答案．

【解答】解：∵一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形的邊長分別是3和4及x，

∴x可能是斜邊或4是斜邊，

∴x=5或．

∴x的值可以有2個．

故選：B．

【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與勾股定理．此題難度不大，注意掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用．

10．設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx+c，當x≤1時，總有y≥0，當1≤x≤3時，總有y≤0，那么c的取值范圍是（　　）

A．c=3????????????? B．c≥3????????????? C．1≤c≤3????????????? D．c≤3

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．

【分析】因為當x≤1時，總有y≥0，當1≤x≤3時，總有y≤0，所以函數(shù)圖象過（1，0）點，即1+b+c=0①，由題意可知當x=3時，y=9+3b+c≤0②，所以①②聯(lián)立即可求出c的取值范圍．

【解答】解：∵當x≤1時，總有y≥0，當1≤x≤3時，總有y≤0，

∴函數(shù)圖象過（1，0）點，即1+b+c=0①，

∵當1≤x≤3時，總有y≤0，

∴當x=3時，y=9+3b+c≤0②，

①②聯(lián)立解得：c≥3，

故選B．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的增減性，解題的關(guān)鍵是由給出的條件得到拋物線過（1，0），再代入函數(shù)的解析式得到一次項系數(shù)和常數(shù)項的關(guān)系．

二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）

11．（邯鄲中考數(shù)學）函數(shù)y=（x﹣1）2+3，當x　＞1　時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．

【分析】先求對稱軸，再利用函數(shù)值在對稱軸左右的增減性可得x的范圍．

【解答】解：可直接得到對稱軸是x=1，

∵a=＞0，

∴函數(shù)圖象開口向上，

∴當x＞1時，函數(shù)值y隨x的增大而增大．

【點評】主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和求拋物線的對稱軸和頂點坐標的方法．

12．如果，那么=　　．

【考點】比例的性質(zhì)．

【分析】用b表示出a，然后代入比例式進行計算即可得解．

【解答】解：∵ =，

∴a=b，

∴==．

故答案為：．

【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，用b表示出a是解題的關(guān)鍵．

13．如圖將半徑為4米的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為　4　米．

【考點】垂徑定理的應(yīng)用；翻折變換（折疊問題）．

【分析】先過點O作OD⊥AB，垂足為D，連接OA，由題意求得OD，由勾股定理求得AD，再由垂徑定理求得AB的值即可．

【解答】解：作OD⊥AB于D，連接OA．

∴AB=2AD，

根據(jù)題意得OD=OB=2m，

∴AD==2m，

∴AB=4m．

故答案為：4．

【點評】（邯鄲中考數(shù)學）本題考查了勾股定理和垂徑定理的知識．此題比較簡單，解此題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

14．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，以下結(jié)論：

①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤當x≠2時，總有4a+2b＞ax2+bx

其中正確的有　①②④⑤　? （填寫正確結(jié)論的序號）．

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點．

【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．

【解答】解：①由圖象可知：當x=1時y=0，

∴a+b+c=0．

∴正確；

②由圖象可知：對稱軸x=﹣=2，

∴4a+b=0，

∴正確；

由拋物線與x軸有兩個交點可以推出b2﹣4ac＞0，正確；

③由拋物線的開口方向向下可推出a＜0

因為對稱軸在y軸右側(cè)，對稱軸為x=﹣＞0，

又因為a＜0，b＞0；

由拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸上，∴c＜0，故abc＞0，錯誤；

④由拋物線與x軸有兩個交點可以推出b2﹣4ac＞0

∴4ac﹣b2＜0正確；

⑤∵對稱軸為x=2，

∴當x=2時，總有y=ax2+bx+c=4a+2b+c＞0，

∴4a+2b＞ax2+bx正確．

故答案為：①②④⑤．

【點評】此題考查學生掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，是一道中檔題．解本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象找出拋物線的對稱軸．

三、（邯鄲中考數(shù)學）計算題：（共2小題，每小題8分，滿分16分）

15．計算：2﹣2﹣cos60°﹣2sin45°+|1﹣|．

【考點】實數(shù)的運算；負整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．

【專題】計算題．

【分析】原式第一項利用負指數(shù)冪法則計算，第二、三項利用特殊角的三角函數(shù)值計算，最后一項利用絕對值的代數(shù)意義化簡，計算即可得到結(jié)果．

【解答】解：原式=﹣×﹣2×+﹣1=﹣﹣+﹣1=﹣1．

【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．

16．二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（4，3），（3，0）．

（1）求b、c的值；

（2）求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸．

【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)．

【分析】（1）把已知點的坐標代入解析式，然后解關(guān)于b、c的二元一次方程組即可得解；

（2）把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式形式，然后即可寫出頂點坐標與對稱軸解析式；

【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（4，3），（3，0），

∴，

解得；

（2）∵該二次函數(shù)為y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．

∴該二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（2，﹣1），對稱軸為直線x=2；

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的頂點坐標與對稱軸的求解，以及作二次函數(shù)圖象，都是基礎(chǔ)知識，一定要熟練掌握．

四、（共2小題，每小題8分，滿分16分）

17．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標系，請按要求完成下面的問題：

（1）以圖中的點O為位似中心，將△ABC作位似變換且同向放大到原來的兩倍，得到△A1B1C1；

（2）若△ABC內(nèi)一點P的坐標為（a，b），則位似變化后對應(yīng)的點P′的坐標是　（2a，2b）　．

【考點】（邯鄲中考數(shù)學）作圖﹣位似變換．

【分析】（1）由以圖中的點O為位似中心，將△ABC作位似變換且同向放大到原來的兩倍，可得△A1B1C1的坐標，繼而畫出△A1B1C1；

（2）由（1）可得△A1B1C1與△ABC的位似比為2：1，繼而可求得位似變化后對應(yīng)的點P′的坐標．

【解答】解：（1）如圖：

（2）∵以點O為位似中心，將△ABC作位似變換且同向放大到原來的兩倍，且△ABC內(nèi)一點P的坐標為（a，b），

∴位似變化后對應(yīng)的點P′的坐標是：（2a，2b）．

故答案為：（2a，2b）．

【點評】此題考查了位似圖形的性質(zhì)與位似變換．此題難度不大，注意掌握位似圖形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．

18．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，且CD=24，點M在⊙O上，MD經(jīng)過圓心O，聯(lián)結(jié)MB．

（1）若BE=8，求⊙O的半徑；

（2）若∠DMB=∠D，求線段OE的長．

【考點】垂徑定理；勾股定理；圓周角定理．

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理求出DE的長，設(shè)出半徑，根據(jù)勾股定理，列出方程求出半徑；

（2）根據(jù)OM=OB，證出∠M=∠B，根據(jù)∠M=∠D，求出∠D的度數(shù)，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OE的長．

【解答】（邯鄲中考數(shù)學）解：（1）設(shè)⊙O的半徑為x，則OE=x﹣8，

∵CD=24，由垂徑定理得，DE=12，

在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2，

x2=（x﹣8）2+122，

解得：x=13．

（2）∵OM=OB，

∴∠M=∠B，

∴∠DOE=2∠M，

又∠M=∠D，

∴∠D=30°，

在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°，

∴OE=4．

【點評】本題考查的是垂徑定理、勾股定理和圓周角定理的綜合運用，靈活運用定理求出線段的長度、列出方程是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強，鍛煉學生的思維能力．

五、（共2小題，每小題10分，滿分20分）

19．（2007?貴陽）某水果批發(fā)商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規(guī)定每箱售價不得高于55元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格出售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．

（1）求平均每天銷售量y（箱）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式．

（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）當每箱蘋果的銷售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．

【專題】方程思想．

【分析】本題是通過構(gòu)建函數(shù)模型解答銷售利潤的問題．依據(jù)題意易得出平均每天銷售量（y）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=90﹣3（x﹣50），然后根據(jù)銷售利潤=銷售量×（售價﹣進價），列出平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤．

【解答】解：（1）由題意得：

y=90﹣3（x﹣50）

化簡得：y=﹣3x+240；（3分）

（2）由題意得：

w=（x﹣40）y

（x﹣40）（﹣3x+240）

=﹣3x2+360x﹣9600；（3分）

（3）w=﹣3x2+360x﹣9600

∵a=﹣3＜0，

∴拋物線開口向下．

當時，w有最大值．

又x＜60，w隨x的增大而增大．

∴當x=55元時，w的最大值為1125元．

∴當每箱蘋果的銷售價為55元時，可以獲得1125元的最大利潤．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用．最大銷售利潤的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x=時取得．

20．（邯鄲中考數(shù)學）如圖，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，

（1）求證：△AFE∽△ABC；

（2）若∠A=60°時，求△AFE與△ABC面積之比．

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．

【專題】幾何綜合題；壓軸題．

【分析】先利用已知條件求出△AFB∽△AEC，得到兩組邊對應(yīng)成比例，夾角又相等，所以可得到，△AFB∽△AEC．

【解答】（1）證明：∵∠AFB=∠AEC=90°，∠A=∠A

∴△AFB∽△AEC????????? 3分

∴

∴△AFE∽△ABC????????? 5分

（2）解：∵△AFE∽△ABC????????? 6分

∴10分

【點評】本題運用了三角形的判定和性質(zhì)，還用到三角形的面積比等于相似比的平方．

六、（本題滿分12分）

21．（2017春?邯鄲月考）如圖，定義：若雙曲線y=（k＞0）與它的其中一條對稱軸y=x相交于A、B兩點，則線段AB的長度為雙曲線y=（k＞0）的對徑．

（1）求雙曲線y=的對徑．

（2）仿照上述定義，定義雙曲線y=（k＜0）的對徑，并直接寫出y=﹣的對徑．

（3）若雙曲線y=的對徑是10，求k的值．

【考點】反比例函數(shù)綜合題．

【分析】（邯鄲中考數(shù)學）過A點作AC⊥x軸于C，

（1）先解方程組，可得到A點坐標為（1，1），B點坐標為（﹣1，﹣1），即OC=AC=1，則△OAC為等腰直角三角形，得到OA=OC=，則AB=2OA=2，于是得到雙曲線y=的對徑；

（2）雙曲線y=（k＜0）的一條對稱軸與雙曲線有兩個交點，根據(jù)題目中的定義易得到雙曲線y=（k＜0）的對徑，同（1）的方法即可得出y=﹣的對徑；

（3）根據(jù)雙曲線的對徑的定義得到當雙曲線的對徑為10，即AB=10，OA=5，根據(jù)OA=OC=AC，則OC=AC=5，得到點A坐標為（5，5），把A（5，5）代入雙曲線y=（k＞0）即可得到k的值；

【解答】解：過A點作AC⊥x軸于C，如圖，

（1）解方程組，得或，

∴A點坐標為（1，1），B點坐標為（﹣1，﹣1），

∴OC=AC=1，

∴OA=OC=，

∴AB=2OA=2，

∴雙曲線y=的對徑是2；?????????????????

（2）若雙曲線y=（k＜0）與它的其中一條對稱軸y=﹣x相交于A、B兩點，

則線段AB的長度為雙曲線y=（k＜0）的對徑．

同（1）的方法得出，y=﹣的對徑為2．

（3）∵雙曲線y=的對徑為10，即AB=10，OA=5，

∴OA=OC=AC，

∴OC=AC=5，

∴點A坐標為（5，5），或點A坐標為（﹣5，5）

把A（5，5）代入雙曲線y=（k＞0）得k=5×5=25，即k的值為25；

把A（﹣5，5）代入雙曲線y=（k＜0）得k=﹣5×5=﹣25，即k的值為﹣25；

即k的值為25或﹣25．

【點評】（邯鄲中考數(shù)學）本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，新定義的理解，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，點在反比例函數(shù)圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式；等腰直角三角形的斜邊是直角邊的倍，難度適中．準確理解雙曲線對徑的定義是解題的關(guān)鍵．

七、（本題滿分12分）

22．（2016?天水校級自主招生）如圖，某校綜合實踐活動小組的同學欲測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們在這棵樹正前方一座樓亭前的臺階上A點處測得樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處，測得樹頂端D的仰角為60°．已知A點的高度AB為2m，臺階AC的坡度為1：，且B，C，E三點在同一條直線上．請根據(jù)以上條件求出樹DE的高度（測傾器的高度忽略不計）．