2018常州中考數學模擬真題試卷【精編Word版】

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一、選擇題

1．（3分）下列方程中，一元二次方程有（　　）

①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③；④x2=1；⑤

A．2個????????????? B．3個????????????? C．4個????????????? D．5個

2．（3分）已知m是方程2x2﹣x﹣1=0的一個根，則代數式6m2﹣3m的值等于（　?。?/p>

A．1????????????? B．2????????????? C．3????????????? D．4

3．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（　?。?/p>

A．點（0，3）????????????? B．點（2，3）????????????? C．點（5，1）????????????? D．點（6，1）

4．（3分）⊙O的半徑為5，圓心O的坐標為（0，0），點P的坐標為（4，2），則點P與⊙O的位置關系是（　?。?/p>

A．點P在⊙O內????????????? B．點P的⊙O上

C．點P在⊙O外????????????? D．點P在⊙O上或⊙O外

5．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，且OC∥BD，AD分別與BC，OC相交于點E，F，則下列結論：

①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（　?。?/p>

A．②④⑤⑥????????????? B．①③⑤⑥????????????? C．②③④⑥????????????? D．①③④⑤

6．（3分）如圖，在三角形紙片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

7．（3分）如圖，⊙O是Rt△ABC的內切圓，∠C=90°，AO的延長線交BC于點D，若AC=6，CD=2，則⊙O的半徑是（　?。?/p>

A．1????????????? B．1.5????????????? C．2????????????? D．2.5

8．（3分）如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標為（﹣1，0），半徑為1．若D是⊙O上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最大值為（　?。?/p>

A．2+????????????? B．2+????????????? C．1????????????? D．2

二、填空題

9．（3分）已知線段a、b、c、d是成比例線段，且a=2cm，b=0.6cm，c=4cm，那么d=　?? 　cm．

10．（3分）若關于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一個根是0，則a=　?? ?。?/p>

11．（3分）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的兩個根，則x12+x22=　?? 　．

12．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點，則∠ACE+∠BDE=　?? 　．

13．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，OA=1，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D，若BD=﹣1，則∠ACD=　?? 　°．

14．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠ACD=90°，直線EF∥BD，交AB于點E，交AC于點G，交AD于點F．若S△AEG=S四邊形EBCG，則=　?? 　．

15．（3分）已知直線L與半徑為4的圓0相交，則點O到直線L的距離d可取的整數值是　?? ?。?/p>

16．（3分）將進貨單價為40元的商品按50元售出時，就能賣出500個．已知這種商品每個漲價2元，其銷售量就減少8個，問為了賺得8000元的利潤，售價應定為多少？設每個商品漲價x元，可列方程　?? 　．

17．（3分）如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，點P是弦AB上的動點，且1≤OP≤2，則弦AB所對的圓周角的度數是　?? ?。?/p>

18．（3分）已知正方形ABC1D1的邊長為1，延長C1D1到A1，以A1C1為邊向右作正方形A1C1C2D2，延長C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3（如圖所示），以此類推…．若A1C1=2，且點A，D2，D3，…，D10都在同一直線上，則正方形A9C9C10D10的邊長是　?? ?。?/p>

三、解答題

19．解方程：

（1）2x2﹣6x+1=0????????????????????????

（2）x（2x﹣1）=3（2x﹣1）

20．在邊長為1的正方形網格中，有△ABC和半徑為2的⊙P．

（1）以點M為位似中心，在網格中將△ABC放大2倍得到△A′B′C′，請畫出△A′B′C′；

（2）在（1）所畫的圖形中，求線段AB的對應線段A′B′被⊙P所截得的弦DE的長．

21．如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，DE⊥C，交AC的延長線于點E．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（1）若AE=8，⊙O的半徑為5，求DE的長．

22．已知某市2015年企業用水量x（噸）與該月應交的水費y（元）之間的函數關系如圖．

（1）當x≥50時，求y關于x的函數關系式；

（2）若某企業2015年10月份的水費為620元，求該企業2015年10月份的用水量；

（3）為鼓勵企業節約用水，該市自2016年1月開始對月用水量超過80噸的企業加收污水處理費，規定：若企業月用水量x超過80噸，則除按2015年收費標準收取水費外，超過80噸的部分每噸另加收元的污水處理費，若某企業2016年3月份的水費和污水處理費共600元，求這個企業3月份的用水量．

23．如圖所示，該小組發現8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內的路上，于是他們開展了測算小橋所在圓的半徑的活動．小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時測得EG的長為3米，HF的長為1米，測得拱高（弧GH的中點到弦GH的距離，即MN的長）為2米，求小橋所在圓的半徑．

24．定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角系中四點．根據上述定義，

（1）當m=2，n=2時，如圖1，線段BC與線段OA的距離是　?? 　，

（2）當m=5，n=2時，如圖2，線段BC與線段OA的距離（即線段AB的長）為　?? 　

（3）如圖3，若點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關于m的函數解析式．

25．如圖①，一個Rt△DEF直角邊DE落在AB上，點D與點B重合，過A點作射線AC與斜邊EF平行，已知AB=12，DE=4，DF=3，點P從A點出發，沿射線AC方向以每秒2個單位的速度運動，Q為AP中點，設運動時間為t秒（t＞0）?

（1）當t=5時，連接QE，PF，判斷四邊形PQEF的形狀；

（2）如圖②，若在點P運動時，Rt△DEF同時沿著BA方向以每秒1個單位的速度運動，當D點到A點時，兩個運動都停止，M為EF中點，解答下列問題：

①當D、M、Q三點在同一直線上時，求運動時間t；

②運動中，是否存在以點Q為圓心的圓與Rt△DEF兩個直角邊所在直線都相切？若存在，求出此時的運動時間t；若不存在，說明理由．

2018常州中考數學模擬真題試卷參考答案與試題解析

一、選擇題

1．（3分）下列方程中，一元二次方程有（　?。?/p>

①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③；④x2=1；⑤

A．2個????????????? B．3個????????????? C．4個????????????? D．5個

【分析】本題根據一元二次方程的定義解答．

一元二次方程必須滿足四個條件：

（1）未知數的最高次數是2；

（2）二次項系數不為0；

（3）是整式方程；

（4）含有一個未知數．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．

【解答】解：①符合一元二次方程定義，正確；

②方程含有兩個未知數，錯誤；

③不是整式方程，錯誤；

④符合一元二次方程定義，正確；

⑤符合一元二次方程定義，正確．

故選：B．

【點評】判斷一個方程是否是一元二次方程時，首先判斷方程是整式方程，若是整式方程，再把方程進行化簡，化簡后是含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2，在判斷時，一定要注意二次項系數不是0．　

2．（3分）已知m是方程2x2﹣x﹣1=0的一個根，則代數式6m2﹣3m的值等于（　?。?/p>

A．1????????????? B．2????????????? C．3????????????? D．4

【分析】把x=m代入方程2x2﹣x﹣1=0求出2m2﹣m=1把6m2﹣3m化成3（2m2﹣m），代入求出即可．

【解答】解：∵m是方程2x2﹣x﹣1=0的一個根，

∴把x=m代入方程2x2﹣x﹣1=0得：2m2﹣m﹣1=0，

∴2m2﹣m=1，

∴6m2﹣3m=3（2m2﹣m）=3×1=3，

故選：C．

【點評】本題考查了一元二次方程的解，采用了整體代入的方法，題目比較好，難度適中．　

3．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（　?。?/p>

A．點（0，3）????????????? B．點（2，3）????????????? C．點（5，1）????????????? D．點（6，1）

【分析】根據垂徑定理的性質得出圓心所在位置，再根據切線的性質得出，∠OBD+∠EBF=90°時F點的位置即可．

【解答】解：連接AC，作AC，AB的垂直平分線，交格點于點O′，則點O′就是所在圓的圓心，

∴三點組成的圓的圓心為：O′（2，0），

∵只有∠O′BD+∠EBF=90°時，BF與圓相切，

∴當△BO′D≌△FBE時，

∴EF=BD=2，

F點的坐標為：（5，1），

∴點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是：（5，1）．

故選：C．

【點評】此題主要考查了切線的性質以及垂徑定理和坐標與圖形的性質，得出△BOD≌△FBE時，EF=BD=2，即得出F點的坐標是解決問題的關鍵．　

4．（3分）⊙O的半徑為5，圓心O的坐標為（0，0），點P的坐標為（4，2），則點P與⊙O的位置關系是（　?。?/p>

A．點P在⊙O內????????????? B．點P的⊙O上

C．點P在⊙O外????????????? D．點P在⊙O上或⊙O外

【分析】根據點到圓心的距離與圓的半徑之間的關系：“點到圓心的距離為d，則當d=r時，點在圓上；當d＞r時，點在圓外；當d＜r時，點在圓內”來求解．

【解答】解：∵圓心O的坐標為（0，0），點P的坐標為（4，2），

∴OP==＜5，因而點P在⊙O內．

故選：A．

【點評】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷．設點到圓心的距離為d，則當d=r時，點在圓上；當d＞r時，點在圓外；當d＜r時，點在圓內．

5．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，且OC∥BD，AD分別與BC，OC相交于點E，F，則下列結論：

①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（　　）

A．②④⑤⑥????????????? B．①③⑤⑥????????????? C．②③④⑥????????????? D．①③④⑤

【分析】①由直徑所對圓周角是直角，

②由于∠AOC是⊙O的圓心角，∠AEC是⊙O的圓內部的角，

③由平行線得到∠OCB=∠DBC，再由圓的性質得到結論判斷出∠OBC=∠DBC；

④用半徑垂直于不是直徑的弦，必平分弦；

⑤用三角形的中位線得到結論；

⑥得不到△CEF和△BED中對應相等的邊，所以不一定全等．

【解答】解：①、∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BD，

②、∵∠AOC是⊙O的圓心角，∠AEC是⊙O的圓內部的角，

∴∠AOC≠∠AEC，

③、∵OC∥BD，

∴∠OCB=∠DBC，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OBC=∠DBC，

∴BC平分∠ABD，

④、∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BD，

∵OC∥BD，

∴∠AFO=90°，

∵點O為圓心，

∴AF=DF，

⑤、由④有，AF=DF，

∵點O為AB中點，

∴OF是△ABD的中位線，

∴BD=2OF，

⑥∵△CEF和△BED中，沒有相等的邊，

∴△CEF與△BED不全等，

故選：D．

【點評】此題是圓綜合題，主要考查了圓的性質，平行線的性質，角平分線的性質，解本題的關鍵是熟練掌握圓的性質．　

6．（3分）如圖，在三角形紙片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似的是（　?。?/p>

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【分析】根據相似三角形的判定分別進行判斷即可得出答案即可．

【解答】解：在三角形紙片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．

A．∵ ==，對應邊==，≠，

故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項錯誤；

B．∵ =，對應邊==，≠，

故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項錯誤；

C．∵ =，對應邊=，即： =，∠C=∠C，

故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC相似，故此選項正確；

D．∵ ==，

=，≠，

故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△ABC不相似，故此選項錯誤；

故選：C．

【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，正確利用相似三角形兩邊比值相等切夾角相等的兩三角形相似是解題關鍵．　

7．（3分）如圖，⊙O是Rt△ABC的內切圓，∠C=90°，AO的延長線交BC于點D，若AC=6，CD=2，則⊙O的半徑是（　?。?/p>

A．1????????????? B．1.5????????????? C．2????????????? D．2.5

【分析】首先證明四邊形CFOE是正方形，設⊙O的半徑為r，根據平行證明△OED∽△ACD，列比例式代入即可求解．

【解答】解：∵⊙O是Rt△ABC的內切圓，

∴OE⊥BC，OF⊥AC，

∴∠OFC=∠OEC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴四邊形CFOE是矩形，

∵OE=OF，

∴矩形CFOE是正方形，

∴OF=EC，

設⊙O的半徑為r，則DE=CD﹣CE=2﹣r，OE=r，

∵OE∥AC，

∴△OED∽△ACD，

∴，

∴，

r=1.5，

故選：B．

【點評】本題考查了三角形的內切圓和圓的切線的性質，此類題的解題思路為：設圓的半徑為r，根據相似三角形的性質列比例式或利用勾股定理列方程求解．　

8．（3分）如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標為（﹣1，0），半徑為1．若D是⊙O上的一個動點，線段DA與y軸交于點E，則△ABE面積的最大值為（　?。?/p>

A．2+????????????? B．2+????????????? C．1????????????? D．2

【分析】由題意可得當AD和⊙C相切時，△ABE的面積最大，畫出此時的圖形，然后由已知條件和三角形的相似，可以求得此時的△ABE面積的最大值．

【解答】解：由題意可得，當AD與⊙C相切時，△ABE的面積最大，此時點D在D1的位置，如下圖所示，

連接CD1，則∠CD1A=90°，

∴△CD1A∽△OE1A，

∴

∵OA=2，AC=3，CD1=1，

∴，

∴，

∴=2+，

故選：B．

【點評】本題考查切線的性質、一次函數圖象上點的坐標特征、三角形的相似、最值，解題的關鍵是明確題意畫出相應的圖形，求出相應的圖形的面積．　

二、填空題

9．（3分）已知線段a、b、c、d是成比例線段，且a=2cm，b=0.6cm，c=4cm，那么d=　1.2　cm．

【分析】根據成比例線段的概念直接求解．

【解答】解：∵a：b=c：d，

∴ad=bc，

∴2d=4×0.6，

∴d=1.2cm．

【點評】考查了成比例線段．線段的比有順序性，四條線段成比例也有順序性．　

10．（3分）若關于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一個根是0，則a=　2　．

【分析】首先根據根與方程的關系，將x=0代入方程求得a的值；又由一元二次方程的二次項系數不能為0，最終確定a的值．

【解答】解：∵關于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一個根是0，

∴a2﹣4=0，

∴a=±2，

∵a+2≠0，

即a≠﹣2，

∴a=2．

故答案為：2．

【點評】此題考查了根與方程的關系．解題時要注意一元二次方程的二次項系數不能為0．　

11．（3分）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的兩個根，則x12+x22=　3?。?/p>

【分析】先根據根與系數的關系求出x1+x2和x1?x2的值，再利用完全平方公式對所求代數式變形，然后把x1+x2和x1?x2的值整體代入計算即可．

【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1=0的兩個根，

∴x1+x2=﹣=﹣=﹣1，x1?x2===﹣1，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3．

故答案是：3．

【點評】本題考查了根與系數的關系、完全平方公式．解題的關鍵是先求出x1+x2和x1?x2的值．

12．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E都是⊙O上的點，則∠ACE+∠BDE=　90°　．

【分析】連接AD，由圓周角定理可得，∠ADE=∠ACE，再根據直徑所對的圓周角是直角即可解答．

【解答】解：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵∠ADE與∠ACE是同弧所對的圓周角，

∴∠ADE=∠ACE，

∴∠ACE+∠BDE=∠ADB=90°

故答案為：90°．

【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵．

13．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，OA=1，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D，若BD=﹣1，則∠ACD=　112.5　°．

【分析】如圖，連接OC．根據切線的性質得到OC⊥DC，根據線段的和得到OD=，根據勾股定理得到CD=1，根據等腰直角三角形的性質得到∠DOC=45°，根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質得到∠OCA=∠DOC=22.5°，再根據角的和得到∠ACD的度數．

【解答】解：如圖，連接OC．

∵DC是⊙O的切線，

∴OC⊥DC，

∵BD=﹣1，OA=OB=OC=1，

∴OD=，

∴CD===1，

∴OC=CD，

∴∠DOC=45°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OCA=∠DOC=22.5°，

∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=22.5°+90°=112.5°．

故答案為：112.5．

【點評】本題考查了切線的性質，勾股定理以及等腰三角形的性質．本題關鍵是得到△OCD是等腰直角三角形．　

14．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠ACD=90°，直線EF∥BD，交AB于點E，交AC于點G，交AD于點F．若S△AEG=S四邊形EBCG，則=　?。?/p>

【分析】本題的關鍵主要是證明AF=CF=DF，要想證明它就要根據所給的面積比求出相似比，從而求線段比．

【解答】解：∵EF∥BD

∴∠AEG=∠ABC，∠AGE=∠ACB，

∴△AEG∽△ABC，且S△AEG=S四邊形EBCG

∴S△AEG：S△ABC=1：4，

∴AG：AC=1：2，

又EF∥BD

∴∠AGF=∠ACD，∠AFG=∠ADC，

∴△AGF∽△ACD，且相似比為1：2，

∴S△AFG：S△ACD=1：4，

∴S△AFG=S四邊形FDCG

S△AFG=S△ADC

∵AF：AD=GF：CD=AG：AC=1：2

∵∠ACD=90°

∴AF=CF=DF

∴CF：AD=1：2．

【點評】本題考查了相似三角形的性質，相似三角形的面積的比等于相似比的平方．　

15．（3分）已知直線L與半徑為4的圓0相交，則點O到直線L的距離d可取的整數值是　0，1，2，3?。?/p>

【分析】直接根據直線與圓相交的條件即可得出結論．

【解答】解：∵直線L與半徑為4的圓0相交，

∴點O到直線L的距離d的取值范圍為：0≤d＜4，

∴d可取的整數值是0，1，2，3．

故答案為：0，1，2，3．

【點評】本題考查的是直線與圓的位置關系，熟知直線與圓的三種位置關系是解答此題的關鍵．

16．（3分）將進貨單價為40元的商品按50元售出時，就能賣出500個．已知這種商品每個漲價2元，其銷售量就減少8個，問為了賺得8000元的利潤，售價應定為多少？設每個商品漲價x元，可列方程?。?0﹣40+x）[500﹣x?（8÷2）]=8000?。?/p>

【分析】根據題意表示出每件商品的利潤以及銷量，進而得出答案．

【解答】解：設每個商品漲價x元，則每件商品的利潤為：50﹣40+x，

銷量為：500﹣x?（8÷2），

故可列方程：（50﹣40+x）[500﹣x?（8÷2）]=8000．

故答案為：（50﹣40+x）[500﹣x?（8÷2）]=8000．

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出銷量是解題關鍵．　

17．（3分）如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，點P是弦AB上的動點，且1≤OP≤2，則弦AB所對的圓周角的度數是　60°或120°?。?/p>

【分析】作OD⊥AB，如圖，利用垂線段最短得OD=1，則根據含30度的直角三角形三邊的關系得∠OAB=30°，根據三角形內角和定理可計算出∠AOB=120°，則可根據圓周角定理得到∠AEB=∠AOB=60°，根據圓內接四邊形的性質得∠F=120°，求出弦AB所對的圓周角的度數．

【解答】解：作OD⊥AB，

∵點P是弦AB上的動點，且1≤OP≤2，

∴OD=1，

∴∠OAB=30°，

∴∠AOB=120°，

∴∠AEB=∠AOB=60°，

∵∠E+∠F=180°，

∴∠F=120°，

即弦AB所對的圓周角的度數為60°或120°，

故答案為：60°或120°．

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系．　

18．（3分）已知正方形ABC1D1的邊長為1，延長C1D1到A1，以A1C1為邊向右作正方形A1C1C2D2，延長C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3（如圖所示），以此類推…．若A1C1=2，且點A，D2，D3，…，D10都在同一直線上，則正方形A9C9C10D10的邊長是　?。?/p>

【分析】延長D4A和C1B交于O，根據正方形的性質和三角形相似的性質即可求得各個正方形的邊長，從而得出規律，即可求得正方形A9C9C10D10的邊長．

【解答】解：延長D4A和C1B交于O，

∵AB∥A2C2，

∴△AOB∽△D2OC2，

∴=，

∵AB=BC1=1，DC2=C1C2=2，

∴==

∴OC2=2OB，

∴OB=BC2=3，

∴OC2=6，

設正方形A2C2C3D3的邊長為x1，

同理證得：△D2OC2∽△D3OC3，

∴=，解得，x1=3，

∴正方形A2C2C3D3的邊長為3，

設正方形A3C3C4D4的邊長為x2，

同理證得：△D3OC3∽△D4OC4，

∴=，解得x2=，

∴正方形A3C3C4D4的邊長為；

設正方形A4C4C5D5的邊長為x3，

同理證得：△D4OC4∽△D5OC5，

∴=，解得x=，

∴正方形A4C4C5D5的邊長為；

以此類推…．

正方形An﹣1Cn﹣1CnDn的邊長為；

∴正方形A9C9C10D10的邊長為．

故答案為．

【點評】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定和性質，求得前五個正方形的邊長得出規律是解題的關鍵．

三、解答題

19．解方程：

（1）2x2﹣6x+1=0????????????????????????

（2）x（2x﹣1）=3（2x﹣1）

【分析】（1）公式法求解可得；

（2）移項后提取公因式分解因式，繼而可得．

【解答】解：（1）∵a=2，b=﹣6，c=1，

∴△=36﹣4×2×1=28＞0，

∴x==，

即x1=，x2=；

（2）∵x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）=0，

（2x﹣1）（x﹣3）=0，

∴2x﹣1=0或x﹣3=0，

解得：x=或x=3．

【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法．　

20．在邊長為1的正方形網格中，有△ABC和半徑為2的⊙P．

（1）以點M為位似中心，在網格中將△ABC放大2倍得到△A′B′C′，請畫出△A′B′C′；

（2）在（1）所畫的圖形中，求線段AB的對應線段A′B′被⊙P所截得的弦DE的長．

【分析】（1）連接MA并延長知A′，使得MA=AA′，用同樣方法確定點B′和點C′，即可確定△A′B′C′．

（2）連接PD，作PF⊥DE于點F，利用勾股定理求得DF的長，然后即可求得DE的長．

【解答】解：（1）如圖△A′B′C′為所求的圖形，

（2）連接PD，作PF⊥DE于點F，則DE=2DF，

在Rt△PDF中，PD=2，PF=1，

∴DF==

∴DE=2

【點評】本題考查了位似變換，解題的關鍵是根據位似中心和位似比，從而作出位似圖形．　

21．如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，DE⊥C，交AC的延長線于點E．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（1）若AE=8，⊙O的半徑為5，求DE的長．

【分析】（1）連接OD，由角平分線和等腰三角形的性質得出∠ODA=EAD，證出EA∥OD，再由已知條件得出DE⊥OD，即可得出結論．

（2）作DF⊥AB，垂足為F，由AAS證明△EAD≌△FAD，得出AF=AE=8，DF=DE，求出OF=3，由勾股定理得出DF，即可得出結果．

【解答】（1）證明：連接OD，如圖1所示：

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠OAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=EAD，

∴EA∥OD，

∵DE⊥EA，

∴DE⊥OD，

∵點D在⊙O上，

∴直線DE與⊙O相切．

（2）解：作DF⊥AB，垂足為F，如圖2所示：

∴∠DFA=∠DEA=90°，

在△EAD和△FAD中，

，

∴△EAD≌△FAD（AAS），

∴AF=AE=8，DF=DE，

∵OA=OD=5，

∴OF=3，

在Rt△DOF中，DF===4，

∴DE=DF=4．

【點評】本題考查圓與直線相切的判定、平行線的判定與性質、三角形全等的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握切線的判定方法，證明三角形全等是解決問題（2）的關鍵．　

22．已知某市2015年企業用水量x（噸）與該月應交的水費y（元）之間的函數關系如圖．

（1）當x≥50時，求y關于x的函數關系式；

（2）若某企業2015年10月份的水費為620元，求該企業2015年10月份的用水量；

（3）為鼓勵企業節約用水，該市自2016年1月開始對月用水量超過80噸的企業加收污水處理費，規定：若企業月用水量x超過80噸，則除按2015年收費標準收取水費外，超過80噸的部分每噸另加收元的污水處理費，若某企業2016年3月份的水費和污水處理費共600元，求這個企業3月份的用水量．

【分析】（1）設y關于x的函數關系式y=kx+b，把（50，200），（60，260）代入轉化為方程組解決．

（2）列方程即可解決問題．

（3）由題意得6x﹣100+（x﹣80）=600，解方程即可．

【解答】解：（1）由圖象知：

當x≥50時，y關于x的函數是一次函數．

設y關于x的函數關系式y=kx+b，

則，解得，所以，y關于x的函數關系式是y=6x﹣100．

（2）由圖可知，當y=620時，x＞50，所以，6x﹣100=620，解得x=120，

所以該企業2013年10月份的用水量為120噸；

（3）由題意得6x﹣100+（x﹣80）=600，化簡得：x2+40x﹣14000=0，

解得：x1=100，x2=﹣140（不合題意，舍去），所以這個企業2015年3月份的用水量是100噸．

【點評】本題考查一次函數的應用、待定系數法、一元一次方程等知識，解題的關鍵是學會構建一次函數，把問題轉化為方程，屬于基礎題中考?？碱}型．　

23．如圖所示，該小組發現8米高旗桿DE的影子EF落在了包含一圓弧型小橋在內的路上，于是他們開展了測算小橋所在圓的半徑的活動．小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，同時測得EG的長為3米，HF的長為1米，測得拱高（弧GH的中點到弦GH的距離，即MN的長）為2米，求小橋所在圓的半徑．

【分析】根據已知得出旗桿高度，進而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半徑即可．

【解答】解：∵小剛身高1.6米，測得其影長為2.4米，

∴8米高旗桿DE的影子為：12m，

∵測得EG的長為3米，HF的長為1米，

∴GH=12﹣3﹣1=8（m），

∴GM=MH=4m．

如圖，設小橋的圓心為O，連接OM、OG．

設小橋所在圓的半徑為r，

∵MN=2m，

∴OM=（r﹣2）m．

在Rt△OGM中，由勾股定理得：

∴OG2=OM2+42，

∴r2=（r﹣2）2+16，

解得：r=5，

答：小橋所在圓的半徑為5m．

【點評】此題主要考查了垂徑定理以及勾股定理的應用，根據已知得出關于r的等式是解題關鍵．　

24．定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角系中四點．根據上述定義，

（1）當m=2，n=2時，如圖1，線段BC與線段OA的距離是　2　，

（2）當m=5，n=2時，如圖2，線段BC與線段OA的距離（即線段AB的長）為　　

（3）如圖3，若點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關于m的函數解析式．

【分析】（1）理解新定義，按照新定義的要求求出距離；

（2）按照新定義的要求，得出AB=求出即可．

（3）如圖2所示，當點B落在⊙A上時，m的取值范圍為2≤m≤6：當4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；當2≤m＜4時，作BN⊥x軸于點N，線段BC與線段OA的距離等于BN長．

【解答】解：（1）當m=2，n=2時，

如圖1，線段BC與線段OA的距離等于平行線之間的距離，即為2；

故答案為：2；

（2）當m=5，n=2時，

B點坐標為（5，2），線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長，

如圖2，過點B作BN⊥x軸于點N，則AN=1，BN=2，

在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB===．

故答案為：；

（3）如圖3所示，當點B落在⊙A上時，m的取值范圍為：2≤m≤6：

當4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；

當2≤m＜4時，作BN⊥x軸于點N，線段BC與線段OA的距離等于BN長，

ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：

故d===（2≤m＜4）．

故d=．

【點評】本題考查了圓的相關性質、點的坐標、勾股定理等重要知識點，根據新定義得出線段之間距離是解決本題的關鍵．

25．如圖①，一個Rt△DEF直角邊DE落在AB上，點D與點B重合，過A點作射線AC與斜邊EF平行，已知AB=12，DE=4，DF=3，點P從A點出發，沿射線AC方向以每秒2個單位的速度運動，Q為AP中點，設運動時間為t秒（t＞0）?

（1）當t=5時，連接QE，PF，判斷四邊形PQEF的形狀；

（2）如圖②，若在點P運動時，Rt△DEF同時沿著BA方向以每秒1個單位的速度運動，當D點到A點時，兩個運動都停止，M為EF中點，解答下列問題：

①當D、M、Q三點在同一直線上時，求運動時間t；

②運動中，是否存在以點Q為圓心的圓與Rt△DEF兩個直角邊所在直線都相切？若存在，求出此時的運動時間t；若不存在，說明理由．

【分析】（1）過點Q作QH⊥AB于H，如圖①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四邊形EFPQ是平行四邊形，易證△AHQ∽△EDF，從而可得AH=ED=4，進而可得AH=HE=4，根據垂直平分線的性質可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四邊形EFPQ是菱形；

（2）①當D、M、Q三點在同一直線上時，如圖②，則有AQ=t，EM=EF=，AD=12﹣t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后運用相似三角形的性質就可求出t的值；

②若以點Q為圓心的圓與Rt△DEF兩個直角邊所在直線都相切，則點Q在∠ADF的角平分線上（如圖③）或在∠FDB的角平分線（如圖④）上，故需分兩種情況討論，然后運用相似三角形的性質求出AH、DH（用t表示），再結合AB=12，DB=t建立關于t的方程，然后解這個方程就可解決問題．

【解答】解：（1）四邊形EFPQ是菱形．

理由：過點Q作QH⊥AB于H，如圖①，

∵t=5，∴AP=2×5=10．

∵點Q是AP的中點，

∴AQ=PQ=5．

∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，

∴EF==5，

∴PQ=EF=5．

∵AC∥EF，

∴四邊形EFPQ是平行四邊形，且∠A=∠FEB．

又∵∠QHA=∠FDE=90°，

∴△AHQ∽△EDF，

∴==．

∵AQ=EF=5，

∴AH=ED=4．

∵AE=12﹣4=8，

∴HE=8﹣4=4，

∴AH=EH，

∴AQ=EQ，

∴PQ=EQ，

∴平行四邊形EFPQ是菱形；

（2）①當D、M、Q三點在同一直線上時，如圖②，

此時AQ=t，EM=EF=，AD=12﹣t，DE=4．

∵EF∥AC，

∴△DEM∽△DAQ，

∴=，

∴=，

解得t=；

②存在以點Q為圓心的圓與Rt△DEF兩個直角邊所在直線都相切，

此時點Q在∠ADF的角平分線上或在∠FDB的角平分線上．

Ⅰ．當點Q在∠ADF的角平分線上時，

過點Q作QH⊥AB于H，如圖③，

則有∠HQD=∠HDQ=45°，

∴QH=DH．

∵△AHQ∽△EDF（已證），

∴==，

∴==，

∴QH=，AH=，

∴DH=QH=．

∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，

∴++t=12，

∴t=5；

Ⅱ．當點Q在∠FDB的角平分線上時，

過點Q作QH⊥AB于H，如圖④，

同理可得DH=QH=，AH=．

∵AB=AD+DB=AH﹣DH+DB=12，DB=t，

∴﹣+t=12，

∴t=10．

綜上所述：當t為5秒或10秒時，以點Q為圓心的圓與Rt△DEF兩個直角邊所在直線都相切．

【點評】本題主要考查了菱形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、圓的切線的性質、等角對等邊、勾股定理、垂直平分線的性質、解方程等知識，需要注意的是：到兩條直線的距離相等的點在兩條直線所成兩組對頂角的角平分線上，避免出現漏解的現象．