2018年湖南省常德市中考數學試卷

一、選擇題（本大題8個小題，每小題3分，滿分24分）

1．（3分）﹣2的相反數是（　　）

A．2????????????? B．﹣2????????????? C．2﹣1????????????? D．﹣

2．（3分）已知三角形兩邊的長分別是3和7，則此三角形第三邊的長可能是（　　）

A．1????????????? B．2????????????? C．8????????????? D．11

3．（3分）已知實數a，b在數軸上的位置如圖所示，下列結論中正確的是（　　）

A．a＞b????????????? B．|a|＜|b|????????????? C．ab＞0????????????? D．﹣a＞b

4．（3分）若一次函數y=（k﹣2）x+1的函數值y隨x的增大而增大，則（　　）

A．k＜2????????????? B．k＞2????????????? C．k＞0????????????? D．k＜0

5．（3分）從甲、乙、丙、丁四人中選一人參加詩詞大會比賽，經過三輪初賽，他們的平均成績都是86.5分，方差分別是S甲2=1.5，S乙2=2.6，S丙2=3.5，S丁2=3.68，你認為派誰去參賽更合適（　　）

A．甲????????????? B．乙????????????? C．丙????????????? D．丁

6．（3分）如圖，已知BD是△ABC的角平分線，ED是BC的垂直平分線，∠BAC=90°，AD=3，則CE的長為（　　）

A．6????????????? B．5????????????? C．4????????????? D．3

7．（3分）把圖1中的正方體的一角切下后擺在圖2所示的位置，則圖2中的幾何體的主視圖為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

8．（3分）閱讀理解：a，b，c，d是實數，我們把符號稱為2×2階行列式，并且規定：=a×d﹣b×c，例如：=3×（﹣2）﹣2×（﹣1）=﹣6+2=﹣4．二元一次方程組的解可以利用2×2階行列式表示為：；其中D=，Dx=，Dy=．

問題：對于用上面的方法解二元一次方程組時，下面說法錯誤的是（　　）

A．D==﹣7????????????? B．Dx=﹣14

C．Dy=27????????????? D．方程組的解為

二、填空題（本大題8個小題，每小題3分，滿分24分）

9．（3分）﹣8的立方根是　?? 　．

10．（3分）分式方程﹣=0的解為x=　?? 　．

11．（3分）已知太陽與地球之間的平均距離約為150000000千米，用科學記數法表示為　?? 　千米．

12．（3分）一組數據3，﹣3，2，4，1，0，﹣1的中位數是　?? 　．

13．（3分）若關于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有兩個不相等的實數根，則b的值可能是　?? 　（只寫一個）．

14．（3分）某校對初一全體學生進行了一次視力普查，得到如下統計表，則視力在4.9≤x＜5.5這個范圍的頻率為　?? 　．

15．（3分）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點B落在AD邊上的點G處，點C落在點H處，已知∠DGH=30°，連接BG，則∠AGB=　?? 　．

16．（3分）5個人圍成一個圓圈做游戲，游戲的規則是：每個人心里都想好一個實數，并把自己想好的數如實地告訴他相鄰的兩個人，然后每個人將他相鄰的兩個人告訴他的數的平均數報出來，若報出來的數如圖所示，則報4的人心里想的數是　?? 　．

三、（本大題2個小題，每小題5分，滿分10分）

17．（5分）計算：（﹣π）0﹣|1﹣2|+﹣（）﹣2．

18．（5分）求不等式組的正整數解．

四、（本大題2個小題，每小題6分，滿分12分）

19．（6分）先化簡，再求值：（+）÷，其中x=．

20．（6分）如圖，已知一次函數y1=k1x+b（k1≠0）與反比例函數y2=（k2≠0）的圖象交于A（4，1），B（n，﹣2）兩點．

（1）求一次函數與反比例函數的解析式；

（2）請根據圖象直接寫出y1＜y2時x的取值范圍．

五、（本大題2個小題，每小題7分，滿分14分）

21．（7分）某水果店5月份購進甲、乙兩種水果共花費1700元，其中甲種水果8元/千克，乙種水果18元/千克．6月份，這兩種水果的進價上調為：甲種水果10元千克，乙種水果20元/千克．

（1）若該店6月份購進這兩種水果的數量與5月份都相同，將多支付貨款300元，求該店5月份購進甲、乙兩種水果分別是多少千克？

（2）若6月份將這兩種水果進貨總量減少到120千克，且甲種水果不超過乙種水果的3倍，則6月份該店需要支付這兩種水果的貨款最少應是多少元？

22．（7分）圖1是一商場的推拉門，已知門的寬度AD=2米，且兩扇門的大小相同（即AB=CD），將左邊的門ABB1A1繞門軸AA1向里面旋轉37°，將右邊的門CDD1C1繞門軸DD1向外面旋轉45°，其示意圖如圖2，求此時B與C之間的距離（結果保留一位小數）．（參考數據：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）

六、（本大題2個小題，每小題8分，滿分16分）

23．（8分）某校體育組為了解全校學生“最喜歡的一項球類項目”，隨機抽取了部分學生進行調查，下面是根據調查結果繪制的不完整的統計圖．請你根據統計圖回答下列問題：

（1）喜歡乒乓球的學生所占的百分比是多少？并請補全條形統計圖（圖2）；

（2）請你估計全校500名學生中最喜歡“排球”項目的有多少名？

（3）在扇形統計圖中，“籃球”部分所對應的圓心角是多少度？

（4）籃球教練在制定訓練計劃前，將從最喜歡籃球項目的甲、乙、丙、丁四名同學中任選兩人進行個別座談，請用列表法或樹狀圖法求抽取的兩人恰好是甲和乙的概率．

24．（8分）如圖，已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點D在圓上，在CD的延長線上有一點F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．

（1）求證：EA是⊙O的切線；

（2）求證：BD=CF．

七、（本大題2個小題，每小題10分，滿分20分）

25．（10分）如圖，已知二次函數的圖象過點O（0，0）．A（8，4），與x軸交于另一點B，且對稱軸是直線x=3．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）若M是OB上的一點，作MN∥AB交OA于N，當△ANM面積最大時，求M的坐標；

（3）P是x軸上的點，過P作PQ⊥x軸與拋物線交于Q．過A作AC⊥x軸于C，當以O，P，Q為頂點的三角形與以O，A，C為頂點的三角形相似時，求P點的坐標．

26．（10分）已知正方形ABCD中AC與BD交于O點，點M在線段BD上，作直線AM交直線DC于E，過D作DH⊥AE于H，設直線DH交AC于N．

（1）如圖1，當M在線段BO上時，求證：MO=NO；

（2）如圖2，當M在線段OD上，連接NE，當EN∥BD時，求證：BM=AB；

（3）在圖3，當M在線段OD上，連接NE，當NE⊥EC時，求證：AN2=NC?AC．

2018年湖南省常德市中考數學試卷參考答案與試題解析　

一、選擇題（本大題8個小題，每小題3分，滿分24分）

1．

【解答】解：﹣2的相反數是：2．

故選：A．

2．

【解答】解：設三角形第三邊的長為x，由題意得：7﹣3＜x＜7+3，

4＜x＜10，

故選：C．

3．

【解答】解：由數軸可得，

﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，

∴a＜b，故選項A錯誤，

|a|＞|b|，故選項B錯誤，

ab＜0，故選項C錯誤，

﹣a＞b，故選項D正確，

故選：D．

4．

【解答】解：由題意，得

k﹣2＞0，

解得k＞2，

故選：B．

5．

【解答】解：∵1.5＜2.6＜3.5＜3.68，

∴甲的成績最穩定，

∴派甲去參賽更好，

故選：A．

6．

【解答】解：∵ED是BC的垂直平分線，

∴DB=DC，

∴∠C=∠DBC，

∵BD是△ABC的角平分線，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，

∴BD=2AD=6，

∴CE=CD×cos∠C=3，

故選：D．

7．

【解答】解：從正面看是一個等腰三角形，高線是虛線，

故選：D．

8．

【解答】解：A、D==﹣7，正確；

B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，正確；

C、Dy==2×12﹣1×3=21，不正確；

D、方程組的解：x===2，y===﹣3，正確；

故選：C．

二、填空題（本大題8個小題，每小題3分，滿分24分）

9．

【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，

∴﹣8的立方根是﹣2．

故答案為：﹣2．

10．

【解答】解：去分母得：x+2﹣3x=0，

解得：x=1，

經檢驗x=1是分式方程的解．

故答案為：1

11．

【解答】解：1 5000 0000=1.5×108，

故答案為：1.5×108．

12．

【解答】解：將數據重新排列為﹣3、﹣1、0、1、2、3、4，

所以這組數據的中位數為1，

故答案為：1．

13．

【解答】解：∵關于x的一元二次方程2x2+bx+3=0有兩個不相等的實數根，

∴△=b2﹣4×2×3＞0，

解得：b＜﹣2或b＞2．

故答案可以為：6．

14．

【解答】解：視力在4.9≤x＜5.5這個范圍的頻數為：60+10=70，

則視力在4.9≤x＜5.5這個范圍的頻率為：=0.35．

故答案為：0.35．

15．

【解答】解：由折疊的性質可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，

∴∠EBG=∠EGB．

∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．

又∵AD∥BC，

∴∠AGB=∠GBC．

∴∠AGB=∠BGH．

∵∠DGH=30°，

∴∠AGH=150°，

∴∠AGB=∠AGH=75°，

故答案為：75°．

16．

【解答】解：設報4的人心想的數是x，報1的人心想的數是10﹣x，報3的人心想的數是x﹣6，報5的人心想的數是14﹣x，報2的人心想的數是x﹣12，

所以有x﹣12+x=2×3，

解得x=9．

故答案為9．

三、（本大題2個小題，每小題5分，滿分10分）

17．

【解答】解：原式=1﹣（2﹣1）+2﹣4，

=1﹣2+1+2﹣4，

=﹣2．

18．

【解答】解：，

解不等式①，得x＞﹣2，

解不等式②，得x≤，

不等式組的解集是﹣2＜x≤，

不等式組的正整數解是1，2，3，4．

四、（本大題2個小題，每小題6分，滿分12分）

19．

【解答】解：原式=[+]×（x﹣3）2

=×（x﹣3）2

=x﹣3，

把x=代入得：原式=﹣3=﹣．

20．

【解答】解：（1）∵反比例函數y2=（k2≠0）的圖象過點A（4，1），

∴k2=4×1=4，

∴反比例函數的解析式為y2=．

∵點B（n，﹣2）在反比例函數y2=的圖象上，

∴n=4÷（﹣2）=﹣2，

∴點B的坐標為（﹣2，﹣2）．

將A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y1=k1x+b，

，解得：，

∴一次函數的解析式為y=x﹣1．

（2）觀察函數圖象，可知：當x＜﹣2和0＜x＜4時，一次函數圖象在反比例函數圖象下方，

∴y1＜y2時x的取值范圍為x＜﹣2或0＜x＜4．

五、（本大題2個小題，每小題7分，滿分14分）

21．

【解答】解：（1）設該店5月份購進甲種水果x千克，購進乙種水果y千克，

根據題意得：，

解得：．

答：該店5月份購進甲種水果190千克，購進乙種水果10千克．

（2）設購進甲種水果a千克，需要支付的貨款為w元，則購進乙種水果（120﹣a）千克，

根據題意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400．

∵甲種水果不超過乙種水果的3倍，

∴a≤3（120﹣a），

解得：a≤90．

∵k=﹣10＜0，

∴w隨a值的增大而減小，

∴當a=90時，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500．

∴月份該店需要支付這兩種水果的貨款最少應是1500元．

22．

【解答】解：作BE⊥AD于點E，作CF⊥AD于點F，延長FC到點M，使得BE=CM，如圖所示．

∵AB=CD，AB+CD=AD=2，

∴AB=CD=1．

在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，

∴BE=AB?sin∠A≈0.6，AE=AB?cos∠A≈0.8．

在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，

∴CF=CD?sin∠D≈0.7，DF=CD?cos∠D≈0.7．

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴BE∥CM，

又∵BE=CM，

∴四邊形BEMC為平行四邊形，

∴BC=EM，CM=BE．

在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，

∴EM=≈1.4，

∴B與C之間的距離約為1.4米．

六、（本大題2個小題，每小題8分，滿分16分）

23．

【解答】解：（1）調查的總人數為8÷16%=50（人），

喜歡乒乓球的人數為50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），

所以喜歡乒乓球的學生所占的百分比=×100%=28%，

補全條形統計圖如下：

（2）500×12%=60，

所以估計全校500名學生中最喜歡“排球”項目的有60名；

（3），籃球”部分所對應的圓心角=360×40%=144°；

（4）畫樹狀圖為：

共有12種等可能的結果數，其中抽取的兩人恰好是甲和乙的結果數為2，

所以抽取的兩人恰好是甲和乙的概率==．

24．

【解答】證明：（1）連接OD，

∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，

∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠BCA=60°，

∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，

∴AE是⊙O的切線；

（2）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，

∵A、B、C、D四點共圓，

∴∠ADF=∠ABC=60°，

∵AD=DF，

∴△ADF是等邊三角形，

∴AD=AF，∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

即∠BAF=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∵，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF．

七、（本大題2個小題，每小題10分，滿分20分）

25．

【解答】解：（1）∵拋物線過原點，對稱軸是直線x=3，

∴B點坐標為（6，0），

設拋物線解析式為y=ax（x﹣6），

把A（8，4）代入得a?8?2=4，解得a=，

∴拋物線解析式為y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；

（2）設M（t，0），

易得直線OA的解析式為y=x，

設直線AB的解析式為y=kx+b，

把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，

∴直線AB的解析式為y=2x﹣12，

∵MN∥AB，

∴設直線MN的解析式為y=2x+n，

把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，

∴直線MN的解析式為y=2x﹣2t，

解方程組得，則N（t，t），

∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM

=?4?t﹣?t?t

=﹣t2+2t

=﹣（t﹣3）2+3，

當t=3時，S△AMN有最大值3，此時M點坐標為（3，0）；

（3）設Q（m，m2﹣m），

∵∠OPQ=∠ACO，

∴當=時，△PQO∽△COA，即=，

∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，

解方程m2﹣m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此時P點坐標為（14，28）；

解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此時P點坐標為（﹣2，4）；

∴當=時，△PQO∽△CAO，即=，

∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，

解方程m2﹣m=m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），

解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（舍去），m2=2，此時P點坐標為（2，﹣1）；

綜上所述，P點坐標為（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．

26．

【解答】解：（1）∵正方形ABCD的對角線AC，BD相交于O，

∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，

∴∠OND+∠ODN=90°，

∵∠ANH=∠OND，

∴∠ANH+∠ODN=90°，

∵DH⊥AE，

∴∠DHM=90°，

∴∠ANH+∠OAM=90°，

∴∠ODN=∠OAM，

∴△DON≌△AOM，

∴OM=ON；

（2）連接MN，

∵EN∥BD，

∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，

∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，

∵OD=OD，

∴DM=CN=EN，

∵EN∥DM，

∴四邊形DENM是平行四邊形，

∵DN⊥AE，

∴?DENM是菱形，

∴DE=EN，

∴∠EDN=∠END，

∵EN∥BD，

∴∠END=∠BDN，

∴∠EDN=∠BDN，

∵∠BDC=45°，

∴∠BDN=22.5°，

∵∠AHD=90°，

∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，

∵∠ABM=45°，

∴∠BAM=67.5°=∠AMB，

∴BM=AB；

（3）設CE=a（a＞0）

∵EN⊥CD，

∴∠CEN=90°，

∵∠ACD=45°，

∴∠CNE=45°=∠ACD，

∴EN=CE=a，

∴CN=a，

設DE=b（b＞0），

∴AD=CD=DE+CE=a+b，

根據勾股定理得，AC=AD=（a+b），

同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，

∵∠OAD=∠ODC=45°，

∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，

∴△DEN∽△ADE，

∴，

∴，

∴a=b（已舍去不符合題意的）

∴CN=a=b，AC=（a+b）=b，

∴AN=AC﹣CN=b，

∴AN2=2b2，AC?CN=b?b=2b2

∴AN2=AC?CN．