一元三次方程的公式解法有:1、意大利學者卡爾丹于1545年發表的卡爾丹公式法;2、中國學者范盛金于1989年發表的盛金公式法。兩種公式法都可以解標準型的一元三次方程。
用卡爾丹公式解題方便,相比之下,盛金公式雖然形式簡單,但是整體較為冗長,不方便記憶,但是實際解題更為直觀。
卡爾丹公式法:特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0(p、q∈R)。
判別式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。
卡爾丹公式X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3);
X2=(Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2;
X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω,
其中ω=(-1+i3^(1/2))/2;
Y(1,2)=-(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
標準型一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)。
令X=Y—b/(3a)代入上式。
可化為適合卡爾丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
卡爾丹判別法:當Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0時,方程有一個實根和一對共軛虛根;
當Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0時,方程有三個實根,其中有一個兩重根;
當Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0時,方程有三個不相等的實根。
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