初中三角形中線定理

中線定理，又稱重心定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關系。初中三角形中線定理是指三角形一條中線兩側所對邊平方的和等于底邊的平方的一半加上這條中線的平方的2倍。

三角形中線定理證明方法一

如圖，在△ABC中，AI為BC邊上的中線。求證：AB2+AC2=1/2(BC)2+2AI2

以BC的中點I為原點，直線BC為x軸，射線IC方向為x軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系。設A點坐標為(m，n)，B點坐標為(-a，0)，則C點坐標為(a，0)。

過A點做AD⊥x軸交x軸于點D，AE⊥y軸交y軸于點E，則D(m，0)，E(0，n)。

由勾股定理可得

AO2=m2+n2,

中線定理的證明

中線定理的證明

AB2=(a-m)2+n2=a2-2am+m2+n2,

AC2=(a+m)2+n2=a2+2am+m2+n2.

∴AB2+AC2=a2+2am+m2+n2+a2-2am+m2+n2

=2a2+2m2+2n2=2a2+2(m2+n2)

又∵AO2=m2+n2,

∴AB2+AC2=2a2+2AO2

又∵B(-a，0)，C(a，0),

∴a=BC

∴a2=BC2

∴2a2=2·BC2=BC2

∴AB2+AC2=BC2+2AO2=BC2+2AI2。

三角形中線定理證明方法二

如圖，AI是△ABC的中線，AH是

高線。利用勾股定理來證明。

在Rt△ABH中，有AB2=AH2+BH2

同理，有AI2=AH2+HI2，AC2=AH2+CH2

并且BI=CI

那么，AB2+AC2

=2AH2+BH2+CH2

=2(AI2-HI2)+(BI-IH)2+(CI+IH)2

=2AI2-2HI2+BI2+IH2-2BI×IH+CI2+IH2+2CI×IH

=2AI2+2BI2