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反三角函數重點知識點總結

2019-11-07 11:55:09文/宋則賢

反三角函數是一種基本初等函數,是數學學習中一個很重要的知識點,下面整理了相關知識點和公式,希望能幫助到大家。

反三角函數重點知識點總結

反三角函數定義

反三角函數是一種基本初等函數。它是反正弦arcsinX,反余弦arccosX,反正切arctanX,反余切arccotX,反正割arcsecX,反余割arccscX這些函數的統稱,各自表示其反正弦、反余弦、反正切、反余切,反正割,反余割為x的角。

三角函數的反函數是個多值函數,因為它并不滿足一個自變量對應一個函數值的要求,其圖像與其原函數關于函數y=x對稱。歐拉提出反三角函數的概念,并且首先使用了“arc+函數名”的形式表示反三角函數。

反三角函數公式

余角關系

arcsin(x)+arccos(x)=π/2

arctan(x)+arccot(x)=π/2

arcsec(x)+arccsc(x)=π/2

負數關系

arcsin(-x)=-arcsin(x)

arccos(-x)=π-arccos(x)

arctan(-x)=-arctan(x)

arccot(-x)=π-arccot(x)

arcsec(-x)=π-arcsec(x)

arccsc(-x)=-arccsc(x)

反三角函數的導數公式

反正弦函數的求導:(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

反余弦函數的求導:(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

反正切函數的求導:(arctanx)'=1/(1+x^2)

反余切函數的求導:(arccotx)'=-1/(1+x^2)

分類

為限制反三角函數為單值函數,將反正弦函數的值y限在-π/2≤y≤π/2,將y作為反正弦函數的主值,記為y=arcsinx;相應地,反余弦函數y=arccosx的主值限在0≤y≤π;反正切函數y=arctanx的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函數y=arccot x的主值限在0<y<π。

1.反正弦函數

正弦函數y=sinx在[-π/2,π/2]上的反函數,叫做反正弦函數。記作arcsinx,表示一個正弦值為x的角,該角的范圍在[-π/2,π/2]區間內。定義域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]。

2.反余弦函數

余弦函數y=cosx在[0,π]上的反函數,叫做反余弦函數。記作arccosx,表示一個余弦值為x的角,該角的范圍在[0,π]區間內。定義域[-1,1] , 值域[0,π]。

3.反正切函數

正切函數y=tanx在(-π/2,π/2)上的反函數,叫做反正切函數。記作arctanx,表示一個正切值為x的角,該角的范圍在(-π/2,π/2)區間內。定義域R,值域(-π/2,π/2)。

4.反余切函數

余切函數y=cotx在(0,π)上的反函數,叫做反余切函數。記作arccotx,表示一個余切值為x的角,該角的范圍在(0,π)區間內。定義域R,值域(0,π)。

5.反正割函數

正割函數y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函數,叫做反正割函數。記作arcsecx,表示一個正割值為x的角,該角的范圍在[0,π/2)U(π/2,π]區間內。定義域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。

6.反余割函數

余割函數y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函數,叫做反余割函數。記作arccscx,表示一個余割值為x的角,該角的范圍在[-π/2,0)U(0,π/2]區間內。定義域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。

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